Non-Linear system and Phase Portrait

Linear vs Non-Linear

1. Finite Time Escape

Unstable linear system의 경우, $t\rightarrow\infty$일 때, system이 $\infty$로 간다. 하지만 nonlinear system의 경우 finite time 안에 system이 $\infty$로 갈 수 있다.

2. Multiple isolated equilirbrium points

Linear system은 오직 한개의 isolated equilirbrium point를 가질 수 있다. 반면에 non-linear system은 여러 개의 isolated equilibrium point들을 가질 수 있다.

3. Limit Cycles

Linear system이 oscillate한다는 것은 imaginary eigen value를 가지고 있음을 의미하고 small perturbation으로 trajectory가 변할 수 있다. 또한 initial condition에 dependent한데 반면에 non-linear system은 initial state에 상관없이 fixed frequence와 amplitude를 가지고 oscillate 할 수 있다.

4. Stability

Linear system에서는 stability가 asymptotic stability, exponential stability를 의미하지만 non linear system에서는 그렇지 않다.

이외에도 subharmonic, chaos, multiple modes of behavior 등 다양한 차이점이 있다.

 

---

Stability and Phase Portrait

Definition 1. Phase Portrait

Families of all trajectories

---

Stability of Linear System

Non-Linear 의 stability를 공부하기 위해 우선 linear system의 stability를 복습해보자.

2nd-order system을 예시로 생각해보면,

$\lambda_2<\lambda_1<0$인 경우, Stable Node

$\lambda_2>\lambda_1>0$인 경우, Untable Node

$\lambda_2<0<\lambda_1$인 경우, Saddle Point라고 한다.

Complex Eigenvalue의 경우, stable focus, unstable focus, 그리고 pure imaginairy의 경우 center라고 한다.

Node, Saddle Point , 그리고 focus는 structurally stable 하다. 

즉, $A+ \delta A$의 eigenvalue가 perturbation에 의해 크게 변하지 않는다.

하지만 center의 경우, perturbation에 따라 stable 해지기도, unstable 해지기도 해서 non-linear system을 linearization했을 때, center는 analysis 하기 적합하지 않다.