Subspace topology

이번에는 Subspace topology에 대해 알아보겠다.

Definition (Subspace topology, [1]) $X$가 topological space with topology $\mathcal{T}$라고 하자. $Y$가 $X$의 subset이면, the collection
$$\mathcal{T}_Y:=\{ Y \cap U \mid U \in \mathcal{T}  \},$$

is a topology on $Y$, 이고 이것이 subspace topology이다.

즉, subspace topology는 original topology의 open set들과의 intersection으로 정의된다. Subspace topology $\mathcal{T}_Y$도 topology가 된다는 것을 알 수 있다.

또한 subspace topology의 basis는 다음과 같이 정의할 수 있다:

Lemma 1 (Lemma 16.1 in [1]) $\mathcal{B}$가 topology of $X$의 basis라면, then the collection 

$$\mathcal{B}_Y:=\{ B \cap Y \mid B \in \mathcal{B} \},$$

는 subspace topology in $Y$의 basis가 된다.

증명) 먼저 $y \in U \cap Y$에 대해,  $y \in B \subset U$를 찾을 수 있고, 따라서 $y\in B\cap Y \subset U \cap Y$이다. 따라서 $\mathcal{B}_Y$는 $\mathcal{T}_Y$의 basis가 된다.

 

Lemma 2 (Lemma 16.2 in [1]) Let $Y$ be a subspace of $X$. If $U$ is open in $U$ and $Y$ is open in $X$. Then, $U$ is open in $X$.

증명) $U$가 $Y$에서 open이므로, $X$의 어떤 open set $V$에 대해  $U=Y \cap V$이다. 따라서 , $U$는 $X$에서 open 이다.

 

Theorem 16.3 in [1]) If $A$ is subspace of $X$ and $B$ is subspace of $Y$, then the product topology on $A\times B$ is the same as the topology $A\times B$ inherits as a subspace of $X\times Y$.

먼저 $X\times Y$에서 open set은 $X$와 $Y$에서의 basis의 product로 정의되므로, $X$와 $Y$의 basis인 $U\times V$로 정의됨을 알 수 있다. 따라서 Lemma 16.1에 의해 $(U\times V) \cap (A\times B)$는 subspace $A\times B$의 topology의 basis가 된다. 또한  $(U\times V) \cap (A\times B)=(U\cap A) \times ( V \cap B)$이고 $U\cap A$와 $V \cap B$는 $A$와 $B$에서의 open set이 되므로, $(U\cap A) \times ( V \cap B)$는 $A\times B$의 general basis가 된다.

하지만 subspace topology와 order topology는 달라질 수 있다.

 

이제 Exercise 10에 해당하는, $[0,1]\times[0,1]$에 대한 product topology $\mathcal{T}_1$, 그리고 dictionary order topology $\mathcal{T}_2$, 그리고 subspace topology of $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , $\mathcal{T}_3$를 비교해보겠다. 우선 $\mathcal{T}_1$의 basis element인 $ [0,1] \times (a,1] $를 생각해보면, $ b\times 1  \in [0,1]\times (a,1]$에 대해 $b\times 1$을 포함하면서 $ [0,1] \times (a,1] $에 포함되는 $\mathcal{T}_2$의 basis는 존재하지 않는다. 또한 $\mathcal{T}_2$의 basis가 line으로 표현된다는 것을 활용하면 $\mathcal{T}_1$이 $\mathcal{T}_2$에 포함되지 않는다는 것도 보일 수 있다.

 

 

[1] Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.