Math/Measure Theory (20) 썸네일형 리스트형 Convergence 이번에는 Convergence의 종류에 대해 알아보겠다. 아주 헷갈리기 때문에 조심해야한다! $f_n$ converges in measure : $$\mu( \{ x | f_n(x)-f(x)| > \epsilon \} ) \to 0.$$ $f_n$ converges in $L^p$ : $$\int |f_n-f|^p d\mu \to 0.$$ Proposition 10.2 in [Bass] (1) Suppose $\mu$ is a finite measure. If $f_n\to f$ a.e, then $f_n$ converges to $f$ in measure. (2) If $\mu$ is a measure, not necessarily finite, and $f_n \to f$ in measure, the.. Lebesgue integral Lebesgue measure에 대해서 배웠으므로 이제 Lebesgue 적분에 대해서 알아보자! Definition If $s=\sum^n_{i=1} a_i \chi_{E_i}$ is a non-negative measurable simple function. Then, Lebesgue integral of $s$ is defined as $$\int sd \mu = \sum^n_{i=1} a_i \mu (E_i). $$ If $f\geq 0$ is a measurable function, then $$\int f d\mu = \sup \{ \int s d\mu : 0 \leq s \leq f, \; s \;\text{is simple.} \}$$ Lebesgue integrable하다는 것은 다음과 같.. Measure and measurable functions 먼저 Measure에 대한 몇가지 성질을 알아보겠다. Proposition 3.5 in Bass ) (1) $\mu (A) \leq \sum^{\infty}_{i=1} \mu(A_i)$ Proof. $B_i=A_i- \cup^{i-1}_{j=1}A_j$라고 하면 $ \cup_i A_i = \cup B_i$이다. Example 4.14 in Bass) $(q_i-\epsilon/2^i,q_i+\epsilon/2^i)$를 생각하면 $\cup_i I_i$의 length는 최대 $2\epsilon$이다. 따라서 $[0,1]-\cup_i I_i$는 유리슈를 포함하지 않는다. Example 1) $f+g$ is measurable function 이다. $$\{ f+g>a \} = \cup_q \{ f> -q\} .. Hausdorff measure stein의 real analysis를 일부 정리한 내용입니다. Exterior $\alpha$-dimensional Hausdorff measure of $E$를 다음과 같이 정의합니다. $$m^*_{\alpha} = \lim_{\delta \to 0} \inf \{ \sum_k (diam F_k)^{\alpha} : E \subset \cup^{\infty}_{k=1} F_k , diam F_k \leq \delta \} $$ 글괴 $$\mathcal{H}^{\delta}_{\alpha} (E) = \inf \{ \sum_k (diam F_k)^{\alpha} : E \subset \cup^{\infty}_{k=1} F_k , diam F_k \leq \delta \}$$ 는 $\delta$가 감소함.. Hilbert space : Orthonormality and Closed subspace Stein의 Measure Theory를 정리한 내용입니다.이번 글에서는 Hilbert Space의 Orthogonality, Closed subpsace에 대해 알아보겠습니다.Proposition 2.1 (Pythagoreon for Hilbert space) If $ f\perp g$, then $||f+g||^2 = ||f||^2 + ||g||^2$Proposition 2.2 If $\{e_k\}^{\infty}$ is orthonormal, and $f =\sum a_k e_k \in \mathcal{H}$, where the sum is finite, then $ ||f||^2 = \sum |a_k|^2 $.Theorem 2.3Followings are equivalent for orthonor.. Hilbert Space Stein의 Measure Theory를 정리한 내용입니다. 1. $L^2(\mathbb{R}^d)$ space우선 Hilbert Space를 정의하기에 앞서 $ L^2 ( \mathbb{R}^d )$에 대해 복습을 하겠습니다. $L^2(\mathbb{R}^d)$에서의 norm은 다음과 같이 정의됩니다:$$||f||_{L^2(\mathbb{R}^d)} = \left( \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^2 \right)^{1/2}.$$또한, inner product를 다음과 같이 정의합니다:$$(f,g)=\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\overline{g(x)}dx$$이제 $L^2(\mathbb{R}^d)$의 다음 성질들에 대해 알아보겠습니다:1) $L^2(\mathbb{R}.. Abstract measure spaces stein의 measure theroy를 정리한 내용입니다. $X$로 구성되는 measure space는 (i) A $\sigma$-algebra $\mathcal{M}$ of " measurable sets" : closed under complement and countable unions and intersections of subsets of $X$ (ii) A measure $ \mu : \mathcal{M} \to [0,\infty]$로 구성된다. 이 때 measure는 countable additivity를 만족시켜야 한다. $\sigma$-finite이란 $X$가 union of countably many measurable sets of finite measure로 표현될 수 있음을 의미.. Linear transformations Stein의 Measure Theory를 정리한 내용입니다. linear operator $T: \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2$는 $$ ||T(f) ||_{\mathcal{H}_2} \leq M || f||_{\mathcal{H}_1}$$이면 bounded 되어 있다고 합니다. 즉, norm을 정의할 수 있게되는데 $$ ||T|| = \inf M$$이 됩니다. Lemma 5.1 $||T|| = \sup \{ | (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \} $ Proof $ || T|| \leq M$ 이면 $ \sup \{ | (Tf,g) : ||f || \leq 1, || g|| \leq 1\} \leq M$이 된다는 것과 $ \sup \{ | (Tf,.. 이전 1 2 3 다음