Mechatronics (11) 썸네일형 리스트형 Non-Linear system and Phase Portrait Linear vs Non-Linear 1. Finite Time Escape Unstable linear system의 경우, $t\rightarrow\infty$일 때, system이 $\infty$로 간다. 하지만 nonlinear system의 경우 finite time 안에 system이 $\infty$로 갈 수 있다. 2. Multiple isolated equilirbrium points Linear system은 오직 한개의 isolated equilirbrium point를 가질 수 있다. 반면에 non-linear system은 여러 개의 isolated equilibrium point들을 가질 수 있다. 3. Limit Cycles Linear system이 oscillate한다는 것은.. Lipschitzness Preliminaries 1. Continuity at $x_0$ Given $\epsilon$, there is $\delta$ such that $||x_0-x|| \rightarrow ||f(x_0)-f(x)|| Lyapunov Theory Khali의 Nonlinear-Systems 일부를 정리한 내용입니다. Theorem 1. Let $f(x,t)$ be piecewise continuous in $t$ and locally Lipschitz in $x$ for all $t\geq t_0$ and all $x$ in a domain $D\subset R^n$. Let $W$ be a compact subset of $D$, $x_0 \in W$, and suppose it is known that every solution of $$\dot{x}=f(x,t), \quad x(t_0)=x_0$$ lies entirely in $W$. Then , there is a unique solution that is defined for all $.. Time Variant vs Time Invariant System Time Varying and Time Invariant System Input 인 $x(t)$를 $T$만 큼 Delay 시켜을 때랑 $x(t-T)$ Output인 $y(t)$를 $T$만큼 Delay 시켰을 떄 $y(t-T)$ 값이 동일하다면 Time Invariant 아니면 Time Variant System이라고 한다. Example 1 예를 들어 $y(t)=x(2t)$ 라고 할 때, Input을 Delay시키면 Output은, $y_T(t)=x(2t-T)$가 된다. ( $x(2t-2T)$가 아니다. 지금 Input은 $x(2t)$이기 때문이다. ) Output을 Delay 시키면 $y(t-T)=x(2t-2T)$가 된다. 따라서 이 System 은 Time Variant System이다. Input .. PID Control PID Controller는 1900년대에 나왔지만 현대까지 많은 부분에서 사용되고 있다. Espresso Machine의 온도 제어부터 Drone 제어까지. PID는 왜 이렇게 인기가 많을까?이야기를 해보고자 한다. 1. PID Controller는 Linear System 이다. 현실의 많은 문제들은 Non-linearity를 포함하지만 대부분 Linear하게 근사하여 풀 수 있는 경우가 많다. 예를 들어, sin(x)의 경우 x=0에서 y=x인 Linear System 으로 근사할 수 있다. (Using Taylor's Seires) 2. PID Controller의 다양한 기능 P 제어기의 경우, Steady State Error를 개선시켜주고, 외란에 대해 Robust해 질 수 있다는 장점이 있.. Root Locus Root Locus는 Gain의 변화에 따라 Closed Loop System의 절대 안정도와 상대 안정도를 판별하는 방법 중 하나이다. Root Locus로 angle condition을 만족시켜면서 Controller Gain K 에 따른 CLCE의 root의 변화를 그린 그래프이다. CLTF=$\cfrac{G(s)}{1+G(s)H(S)}$ CLCE=$1+G(s)H(S)$ Open Loop TF=$GH$ Root Locus를 그리기 위해서는 두 가지 조건을 고려해야 한다. 1) 각도 조건 : $\angle{GH}=180^{\circ}$ 2) 크기 조건 : $|GH|=1$ 실제로 Root Locus를 그리는 법을 알아보자. 1. Zero at Infinity를 구한다. $G(s)=\cfrac{s-1}{.. Performance of Control Systems 1. Rise Time - Underdamped의 경우 목표값에 처음 도달하는데 걸리는 시간 - Critically Damped or Overdamped의 경우 목표값의 10%에서 90%까지 도달하는데 걸린 시간 2. Peak Time - Maximum에 도달하는데 걸리는 시간 Rise time, Peark Time 모두 감쇠비가 일정하다면 $w_n$이 커질수록 값이 작아진다. 즉, system의 응답속도가 빨라진다. 3. $M_p$ : Maximum Overshoot $M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 식에서 알 수 있듯이$M_p$는 감쇠비에만 의존한다. 즉, $M_p$가 작으면 감쇠비가 커지는 것을 의미한다. 결과적으로 1. 시스템이 상대적으로 안정해지지만 2. 응답속도.. Stability 절대안정도와 상대안정도 절대안정도는 시스템의 안정한가 불안정한가를 의미한다. 상대안정도는 절대안정도를 만족시키는 상황에서, 얼마나 안정하냐의 의미를 가진다. 그렇다면 상대안정도가 무조건 높을 수록 좋은가? 상대안정도가 높을 경우, 감쇠비가 높은 시스템이 일반적인데, 이러한 경우 응답 속도가 느려질 수 있다. 즉, 상대안정도와 응답속도 사이에 일반적으로 tradeoff가 있기 마련이다. 감쇠비가 커질수록 상대 안정도가 높아지는 이유는 Overshoot가 작아지고, Settling Time이 감쇠비가 커질수록 작아진다고 볼 수 있기 때문이다. 그렇다면 Stability는 어떻게 판단하는가? system transfer function의 pole에 따라 3가지 Case로 나눌 수 있다. 1) system의 t.. 이전 1 2 다음