ComputerScience/Probability Theory (4) 썸네일형 리스트형 Doob's Inequality Durrett 책을 일부 정리한 내용입니다. Theorem 4.4.1 If $X_n$ is a submartingale and $N$ is a stopping time with $P(N\leq k ) = 1$ then $$ E X_0 \leq EX_N \leq E X_k$$ Proof) $K_n= 1_{\{N\leq n-1\}}$ 이라고 할 때 $(K \cdot X )_n = \sum\limits^n_{m=1} 1_{\{N\leq m-1 \} }(X_m-X_{m-1}) = X_n - X_{N \wedge n}$ 따라서 $$ EX_k - EX_N = E ( K\cdot X)_k \leq E (K \cdot X)_0 = 0$$ 또한 $X_{N\wedge n}$이 submartingale이므로 $EX_0 = .. Martingale and Almost sure Convergence Durrett 책 일부를 정리한 내용입니다. $H_n$ is predictable sequence if $H_n \in \mathcal{F}_{n-1}$. Theorem 4.2.8 Let $X_n$ be a supermartingale. If $H_n \geq 0$ is predictable and each $H_n$ is bounded then $(H\cdot X)_n$ is a supermartingale. Proof \begin{align} E ( (H\cdot X)_{n+1} | \mathcal{F}_n) &= (H \cdot X)_n + E (H_{n+1} (X_{n+1}-X_n) | \mathcal{F}_n)\\ &= (H \cdot X)_n + H_{n+1} E((X_{n+1}-X_n)|\m.. Conditional Expectation Durrett 책 일부를 정리한 내용입니다. Example 1. If $X\in\mathcal{F}$ then $E(X|\mathcal{F})=X$ Theorem 4.1.12 If $\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$ and $E(X \mathcal{G}] \in \mathcal{F}$ then $E[X|\mathcal{F}]=E[X|\mathcal{G}]$ Proof) 모든 $A\in \mathcal{F} \subset \mathcal{G}$에 대해 $\int_A X dP = \int_A E(X|\mathcal{G}) dP$이다. 왜냐하면 $A\in \mathcal{G}$이기 때문에 Example 1에 의해 $X=E(X|\mathcal{G})$이다. Q.E.D Theorem 4.1.. Poisson Convergence Durrett 책을 일부 정리한 내용입니다. 앞으로 증명에 있어서 유용하게 활용되는 lemma 두 개를 소개한다. Lemma 3.4.3 Let $z_1,\dots,z_n$ and $w_1,\dots,w_n$ be complex numbers of modulus $\leq \theta$. Then $$| \Pi^n_{m=1}z_m - \Pi^n_{m=1}w_m| \leq \theta^{n-1} \sum\limits^n_{m=1} |z_m - w_m|$$ Proof ) Induction을 활용해 증명한다. $| \Pi^n_{m=1}z_m - \Pi^n_{m=1}w_m| \leq |z_1 \Pi^n_{m=2}z_m - z_1 \Pi^n_{m=2}w_m| + |z_1 \Pi^n_{m=2}w_m - w_1 \Pi.. 이전 1 다음