Conditional Expectation

Durrett 책 일부를 정리한 내용입니다.

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Example 1. If $X\in\mathcal{F}$ then $E(X|\mathcal{F})=X$

 

Theorem 4.1.12 If $\mathcal{F}\subset \mathcal{G}$ and $E(X \mathcal{G}] \in \mathcal{F}$ then

$E[X|\mathcal{F}]=E[X|\mathcal{G}]$

Proof)

모든 $A\in \mathcal{F} \subset \mathcal{G}$에 대해

$\int_A X dP = \int_A E(X|\mathcal{G}) dP$이다.

왜냐하면 $A\in \mathcal{G}$이기 때문에 Example 1에 의해 $X=E(X|\mathcal{G})$이다.

Q.E.D

Theorem 4.1.13 If $\mathcal{F}_1\subset \mathcal{F}_2$ then $E(X|\mathcal{F}_1)=E(X|\mathcal{F}_1)$ and $E(E(X|\mathcal{F}_2)|\mathcal{F}_1) = E(X|\mathcal{F}_1)$

Proof)

(i)의 경우 Theorem 4.1.12 에 의해 바로 증명된다.

(ii)의 경우 $A\in \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2$에 대해

$ E(X|\mathcal{F}_1) \in \mathcal{F}_1$이고

$\int_A E(X|\mathcal{F}_1) dP = \int_A X dP = \int_A E(X|\mathcal{F}_2) dP$ 이다.

Q.E.D

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