Doob's Inequality

Durrett 책을 일부 정리한 내용입니다.

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Theorem 4.4.1 If $X_n$ is a submartingale and $N$ is a stopping time with $P(N\leq k ) = 1$ then

$$ E X_0 \leq EX_N \leq E X_k$$

Proof)

$K_n= 1_{\{N\leq n-1\}}$ 이라고 할 때

$(K \cdot X )_n = \sum\limits^n_{m=1} 1_{\{N\leq m-1 \} }(X_m-X_{m-1}) = X_n - X_{N \wedge n}$

따라서

$$ EX_k - EX_N = E ( K\cdot X)_k \leq E (K \cdot X)_0 = 0$$

또한 $X_{N\wedge n}$이 submartingale이므로 $EX_0 = E X_{N \wedge 0 }\leq E X_{N\wedge k}=EX_N$이다.

만약 $N$이 unbounded 되어 있으면 마지막 inequality가 성립하지 않는다는 것을 알 수 있다. 

Remark

$S_0=1$인 Random Walk를 생각했을 때, $N= \inf \{ n: S_n=0  \}$이라고 하면 위의 식을 성립하지 않는다. 즉 $N$이 bounded 되어있어야 Theroem 4.4.1이 성립한다고 생각할 수 있다.

Q.E.D

Theroem 4.4.2 ( Doob's inequality ) Let $X_m$ be a submartingale

$$ \bar{X}_n = \max_{0\leq m \leq n } X^+_m$$

If $\lambda >0$ and $A = \{ \bar{X}_n \geq\lambda \}$ then 

$$ \lambda P(\bar{X}_n \geq \lambda) \leq E X_n 1_{\{ \bar{X}_n \geq \lambda \}} \leq EX_n^+$$

Proof)

$N = \{ m: X_m \geq \lambda \text{or} \quad m=n \}$ 로 설정함으로서 $P(N\leq n ) =1$ 이 된다.

따라서 Theorem 4.4.1에 의해 $EX_N \leq EX_n$ 이고 $A^c$에서 $ X_N=X_n$ 이므로 $ EX_N1_A \leq EX_n 1_A$가 성립한다.

Q.E.D

Theorem 4.4.4 ($L^p$ maximum inequality)

If $X_n$ is a submartingale then for $1<p<\infty$

$$ E \bar{X}^p_n \leq (\frac{p}{p-1})^p E(X^+_n)^p $$

Consequently if $Y_n$ is a martingale and $Y^*_n = \max_{0\leq m\leq n}|Y_m|$

$$ E|Y^*_n|^p \leq (\frac{p}{p-1})^p E (|Y_n |^p) $$

Proof)

Fubini's Theorem 과 Holder 그리고 monotone convergence theorem을 쓰면 쉽게 증명할 수 있다.

$\bar{X}_n \wedge M$을 사용하는데 이는 Finiteness를 이용하기 위함이다.

Q.E.D

Theorem 4.4.6 ( $L^p$ convergence theorem) 

If $X_n$ is a martingale with $\sup E |X_n|^p < \infty$ where $p>1$, then $X_n\rightarrow X$ a.s. and in $L^p$.