Time Variant vs Time Invariant System

Time Varying and Time Invariant System

Input 인 $x(t)$를 $T$만 큼 Delay 시켜을 때랑 $x(t-T)$

Output인 $y(t)$를 $T$만큼 Delay 시켰을 떄 $y(t-T)$

값이 동일하다면 Time Invariant 아니면 Time Variant System이라고 한다.

Example 1

예를 들어 $y(t)=x(2t)$ 라고 할 때,

Input을 Delay시키면 Output은, $y_T(t)=x(2t-T)$가 된다. ( $x(2t-2T)$가 아니다. 지금 Input은 $x(2t)$이기 때문이다. )

Output을 Delay 시키면 $y(t-T)=x(2t-2T)$가 된다.

따라서 이 System 은 Time Variant System이다.

Input Delay를 자세히 설명하자면 delay된 Input $x_T(t)=x(t-T)$이다.

이 때 Output인 $y=x_T(2t)=x(2t-T)$가 된다.

Example 2

$y(t)=\int_t^{t+2}x(w)dw$ 인 System을 생각해보자

이 때 Input이 Delay 되면, delay 된 Input $x_T(t)=x(t-T)$이고,

Output 은 $y_T(t)=\int^{t+2}{t}x_T(w)dw=\int^{t+2}{t}x(w-T)dw=\int^{t-T+2}_{t-T}x(w)dw$ 이다.

Output 이 Delay 된다면, $y(t-T)=\int^{t-T+2}_{t-T}x(w)dw$이 된다.

따라서 이 System은 Time Invariant System 이 된다.

Example 3

$y(t)\begin{cases}u(t),&t\geq0\\0,&t<0\end{cases}$

Input이 $T$만큼 Delay되면, $y_T(t)=\begin{cases}u(t-T)&,t\geq0\\0&,t<0\end{cases}$

Output이 $T$만큼 Delay되면, $y(t-T)=\begin{cases}u(t-T)&,t-T\geq 0 \\0&,t-T<0\end{cases}$

$u(t)=cos(t)$라고 한다면, 이는 Time Varying System이 됨을 알 수 있다.