Characteristic Function

Durrett 책을 일부 정리한 내용입니다.

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Theorem 3.3.11 ( The inversion formula ) Let $\varphi (t) = \int e^{itx} \mu (dx)$ where $\mu$ is a probability measure. If $a<b$ then

$$ \lim_{T\rightarrow \infty} (2\pi)^{-1} \int^T_{-T} \frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it} \varphi (t) dt = \mu(a,b) + \frac{1}{2} \mu ( \{ a,b \} )$$

Proof)

$I_T = \int^T_{-T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb} } {it} \varphi (t) dt = \int^T_{-T} \int \frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}\mu (dx) dt$

$R(\theta,T) = \int^T_{-T} sin ( \theta t ) /t dt$

주기성을 활용하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$I_T = \int (R(x-a,T) - R(x-b,T) ) \mu (dx)$

$S(T) = \int^T_0 sinx /x dx $

As $T\rightarrow\infty$, $S(T)\rightarrow\frac{\pi}{2}$. Therefore

$$(2\pi)^{-1} I_T \rightarrow \mu (a,b) + \frac{1}{2} \mu (\{a,b\})$$