Sigma-algebra

Sigma-algebra의 간단한 예시들을 살펴보겠습니다.

Example 2.3)  $\mathcal{A}:=\{ A\;\text{or}\;A^c\;\text{is countable}\}$. $ (\cup_i A_i )^c \subset A_{i_0}^c $. 따라서 $A_{i_0}^c$가 countable하므로, $\cup_i A_i \in \mathcal{A}$이다.

Example 2.6) Let $X=[0,1]$ and $B_1,\dots,B_8$ be subsets of $X$ which are pariwise disjoint and whose union is all of $X$. Let $\mathcal{A}$ be finite unions of $B_i$'s and empty set. Then $\mathcal{A}$ is $\sigma$-albegra.

Proof) pairwise disjoint 조건을 활용하면 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 알 수 있다 : 

$A\in \Omega$에 대해 $A= \cup_{i\in I } B_i$. And $A^c=\cap_{i \in I} B_i^c = \cap_{i \in I } (X - B_i )^c = \cup_{i \in J} B_j $ 

Lemma 2.7 in [1] ) If $\mathcal{A}_{\sigma}$ is a $\sigma$-algebra for each $\alpha$ in some non-empty index set $I$, then $ \cap_{\alpha \in I} \mathcal{A}_{\alpha}$ is a $\sigma$-algebra.

Proof) $A\in\cap_{\alpha \in I} \mathcal{A}_{\alpha}$에 대해, $A \in \mathcal{A}_{\alpha_0}$이다. 

 

이제 $\mathbb{R}$의 open set들이 open interval의 countable union으로 표현된다는 것을 알아보겠다. $S$를 $\mathbb{R}$의 open set이라고 한다면, $x\in S$에 대해 $A_x=\inf \{a \in \mathbb{R}: \exists b \in \mathbb{R},  x \in (a,b) \subset S\}$, $B_x=\sup \{b \in \mathbb{R} : \exists a \in \mathbb{R},  x \in (a,b) \subset S\}$. $y \in (A_x,B_x)$라고 한다. 이제 $ x\in I_x:=(A_x,B_x) \subset S$라는 것을 보이겠다. $y \in I_x$에 대해  $A_x<y$ 이다. $x \in (a_1,a_2) \subset S $인 $a_1\subseteq (A_x,y)$인 $(a_1,a_2\in \mathbb{R}$이 존재한다. 마찬가지로 $x\in (b_1,b_2)$인 $(b_1,b_2)\subset (y,B_x)$인 $b_1,b_2 \in \mathbb{R}$이 존재한다.

 

Definition 3.7 in [1]) A meausre $\mu$ is finite measure if $\mu(X)<\infty$. A measure $\mu$ is $\sigma$-finite if there exist sets $E_i \in \mathcal{A}$ for $i=1,2,\dots$ such that $\mu(E_i) < \infty$ and $X=\cup_{i=1}^{\infty}E_i$. 

 

Definition ( Null set ) 어떤 measure space $(X,\mathcal{A},\mu)$에 $ A \subset X 대해 $B \in \mathcal{A}$이고 $ \mu (B)=0$이면 $A$를 null set이라고 한다.

이제 measure의 completion에 대해 알아보겠다. 어떤 measure space $(X,\mathcal{A},\mu)$에 대해 $\mathcal{A}$가 모든 null set을 포함하고 있다면, complete meausre space라고 한다. Completion of measure space $(X,\mathcal{A},\mu)$란, $\mathcal{A}$를 포함하는 가장 작은 $\sigma$-algebra $\bar{\mathcal{A}}$에 대해 complete한 $(X,\bar{\mathcal{A}},\bar{\mu})$로 정의되는데 $B \in \mathcal{A}$이면 $\bar{\mu}(B)=\mu(B)$,.

 

Example. Half open : $(a,b]$의 finite union의 collection은 Algebra이다. 이는 half open interval의 intersection은 empty set 혹은 half open interval이라는 것을 활용하면 된다. 또한 open interval $(a,b)$를 closed interval들의 uion으로 표현할수 있는데, $(a,b)=\cup_{n\geq n_0}[a+1/n,b-1/n]$이다.

 

 

이제 Monotone class Theorem 에 대해 알아보겠다. 종종? 유용하게 쓰이는 정리이다

Theorem 2.10 in [1]) Suppose $\mathcal{A}_0$ is. n. glebra, $\mathcal{A}$ is the smalles $\sigma$-algebra containing $\mathcal{A}_0$ and $\mathcal{M}$ is the smallest monotonce class containing $\mathcal{A}_0$. Then $\mathcal{M}=\mathcal{A}$.

Proof) 

우선 $\mathcal{M}$이 Algebra라는 것을 보인다. Complement는 쉽고 intersection을 보이는 것이 까다롭다. 우선 $\mathcal{N}=\{A \in \mathcal{M} \mid A \cap B \in \mathcal{M}, \forall B \in \mathcal{A}_0 \}$가 algebra라는 것을 보인다. $A_i\in \mathcal{N}$에 대해 $A_i \nearrow A$이면,  $ \cup_{i=1}^n A_i \cap B \nearrow A \cap B$이므로 $\mathcal{N}$은 monotone class이다. $\mathcal{N}_2=\{ A \in \mathcal{M} \mid A\cap B \in \mathcal{M}, \forall B \in \mathcal{M} \}$에 대해서도 비슷한 논리로 보일 수 있다.

 

Exercise 2.4 in [1]) $\mathcal{M}_1 \subset $\mathcal{M}_2 \subset \cdots$ 에 대해 $\mathcal{M}=\cup^{\infty}_{i=1}\mathcal{M}_i$라고 하자. $A_j \nearrow A$이면, $A \in \mathcal{M}$?

아니다. $A_j = \{1,2,\dots,j\}$라고 하면 $A_j \nearrow \mathbb{N}$이지만 $\mathbb{N}\notin \mathcal{M}_i$ for all $n$이다. 

 

이제 Caratheodory Extension Theorem 에 대해 알아보겠다.

 

(4) if $l$ is $\sigma$-finite measure, then there is a unique extension to $\sigma (\mathcal{A}_0)$.

Proof)

(4)의 증명 : 다른 measure $\nu$가 있다고 하자. 그러면, $E \subset \cup_i A_i$에 대해

$\nu(E) \leq  \sum_i \nu (A_i) = \sum_i l(A_i). $ 따라서 $\nu(E) \leq \mu^* (E).$

반대로 $\mu^*(E) \leq \nu (E)$를 증명하기 위해 $E\subset \cup A_i$인 $\mu^*(E)+\epsilon \geq l(A_i)$를 생각한다. 

그러면 $\sum_i l(A_i)=\sum_i \mu^*(A_i)$이므로 $\mu^*(E) +\epsilon \geq \mu^*(A)$이다, 즉 $\mu^*(A-E)\leq \epsilon$이다.

$\mu^*(A-E) \leq \epsilon.$ 그러면 

$$\mu^*(E) = \mu^*(A) = \mu^*(A-E) + \mu^*(E) \leq \nu^*(A-E) $$

[1] Bass, Richard F. "Real analysis for graduate students." Storrs, CT (2016).