Limit theorems

여기저기서 많이 쓰이는 Monotonce convergence theroem을 증명해보겠다

Theorem [Bass, Theorem 7.1] 

Suppose $f_n$ is a sequence of non-negatvie measurable functions with $f_1\leq f_2 \leq \cdots$ with $f_n\to$f in pointwise sense. Then, $\int f_n d\mu \to $\int fd\mu$.

Proof

$lim_{n\to\infty} \int f_n = L \leq \int f$를 확인하는 것은 쉽다. 이제 $L \geq \int f$라는 것을 보이겠다. $0\leq s \leq f$인 simple function에 대해 $A_n:= \{ x : f_n(x) \geq cs (x) \}$ 로 설정한다. 여기서 $A_n \nearrow X$인 것을 기억해야 한다. 그러면 아래가 성립한다:

$$ \int f_n \geq \int_{A_n} f_n \geq c \int_{A_n} s. $$

즉, 

$$ \int f_n \geq c \sum_i a_i \mu(E_i \cap A_n)$$이되는데,

$\sum a_i \mu(E_i \cap A_n) \nearrow \sum a_i \mu (E_i)$이다.

 

이제 integral의 linearity에 대해 알아보겠다.

Theorem 7.4 If $f$ and $g$ are non-negatvie and measruable, or if integrable, then

$$\int (f+g) d\mu = \int f d\mu + \int g d\mu .$$

Proposition 7.5 (1) If $f$ is a real-valued measruable function with $a\leq f \leq b$ for all $x$ and $\mu (X) < \infty$.

 

이제 엄청 유명한 Fatou's Lemma를 소개하겠다:

Theorem 7.8 Suppoe $f_n$ are non-negative and measurable. Then

$$\int \liminf f_n \leq \liminf \int f_n.$$

Proof)

$g_n = \inf_{i\geq n} f_i$ 이면 $g_n$은 increasing sequence 이고 $ g_n \leq f_i , i \geq n$이다. 따라서

$$ \int g_n \leq \inf_{i \geq n}  \int f_i$$가 성립하고  

Theorem 7.9 Suppose that $f_n$ are measurable real-valued functions and $f_n(x) \to f(x)$. Suppose there exists a non-negative integrable function $g$ such that $|f_n| \leq g$. Then,

$$\lim \int f_n d\mu = \int f d\mu .$$

Proof

$f_n+g \geq 0$이므로 Fatou's lemma에 의해

$\int f + \int g \leq \liminf \int f_n+g = \liminf \int f_n + \int g $.