Root Locus

Root Locus는 Gain의 변화에 따라 Closed Loop System의 절대 안정도와 상대 안정도를 판별하는 방법 중 하나이다.

 

Root Locus로 angle condition을 만족시켜면서 Controller Gain K 에 따른 CLCE의 root의 변화를 그린 그래프이다.

CLTF=$\cfrac{G(s)}{1+G(s)H(S)}$

CLCE=$1+G(s)H(S)$

Open Loop TF=$GH$

Root Locus를 그리기 위해서는 두 가지 조건을 고려해야 한다.
1) 각도 조건 : $\angle{GH}=180^{\circ}$
2) 크기 조건 : $|GH|=1$

실제로 Root Locus를 그리는 법을 알아보자.

1. Zero at Infinity를 구한다.

$G(s)=\cfrac{s-1}{(s-3)(s-2)}$이면 finite zero는 $s\rightarrow1$일 때, 그리고 zero at infinity는 $c\rightarrow\infty$일 때 발생한다.
2. Open Loop Pole에서 K=0이고 Open Loop Zero 에서 K=$\infty$이다.
3. Branches OL pole(n개)에서 시작해, finite zero(m개)와 zero at infinity(n-m개)에서 끝난다.
4. Root Locus 선은 Real Axis 상에서, 오른쪽에 항상 홀수개의 zero와 pole을 가진다. (ex) 1zero and 2 pole)
5. 점근선 : n=OL pole 갯수, m=OL zero 갯수
$\phi=\cfrac{180^{\circ}}{n-m}$
$\sigma=\cfrac{\Sigma{p_i}-\Sigma{z_i}}{n-m}$
6. Breakaway point and Break-in point
Breakaway point를 구함에 있어 주의해야될 점은, K가 양수인지 그리고 확인해야되고 real-axis상에서 발생한다는 것이다.
7. Angle of Departure, Arrival
실수축 상에 pole이나 zero가 있을 때는 실수축상에 Root Locus가 그려진다.(점근선 제외)
pole이나 zero가 허수부를 가지고 있다면 anlge of departure나 angle of zero를 알아야한다. 원리는 K가 0이나 inifinity로 갈 때 동일하다.
$-\Sigma{\theta_{pole}}+\Sigma{\theta_{zero}}=180^{\circ}$