Basis

Linear space

Linear space는 addition과 scalar multiplication 에 대해서 closed 되어있으면, linear space라고 한다. 즉 , linear combination에 대해 closed 되어 있으면 된다.

 

Uniqueness of representation in terms of basis

If $x_1,x_2,...,x_n$ are a basis for a linear space $S$, then the representation of a vector $s\in S$ in terms of the basis is unique. There exists one and only set of coefficients $a_1,a_2,..,a_n$ s.t $s=a_1x_1+...+a_nx_n$

Proof) Use proof of contradiction

 

Basis replacement theorem

Let $x_1,x_2,...,x_n$ be a basis for a linear space $S$. Let $s\in S$, then a new basis can be obtained by replacing one of the vectors $x_1,...,x_n$ with $s$.

Proof)

replace x_1 with s

1. show independence

2. show that is spans

 

Basis extension theorem

Let $x_1,...,x_k$ linear independent vectors belonging to a linear space $S$. Let $y_1,..,y_m$ a finite set of vectors that span $S$. Then we can form a basis by adjoining some elements of the spanning set to independent set.

 

Dimension of linear space

linear space의 차원은 linear space의 basis의 갯수로 정의된다.

 

Finite-dimensional space

어떤 linear space가 finite set of vectors로 span 가능하다면, finite dimensional이라고 한다.

 

Existence of basis

모든 finite dimensional linear space S는 적어도 1개의 basis를 가짐을 증명할 것이다.

1. 위에서 finite dimensional space의 정의에 따라 linear space를 span하는 finite set of vectors V가 존재한다.

2. S로부터 하나의 원소 $s\neq 0$ 를 선택한다. I={s}는 Independent Set이다.

3. Basis Extension Theorem에 I와 V로 부터 Basis Set을 찾을 수 있다.

 

참고

www.statlect.com/matrix-algebra/basis-of-a-linear-space