Weak Convergence

From Durrett's Probability Theory and Examples

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Theorem 3.2.12 ( Helly's selection Theorem ) For every sequence $F_n$ of distribution functions, there is a subsequence $F_{n(k)}$ and a right continuous non-decreasing function $F$ so that $\lim_{k\rightarrow\infty}F_{n(k)}(y)=F(y)$ at all continuity points $y$ of $F$.

Proof) 

Let $q_1,q_2,\dots,\in Q$

We can find subsequence $m_k(i)$ such that $F_{m_k(i)}(q_k) \rightarrow G(q_k)$ as $i\rightarrow\infty$

Let $F_{n(k)}=F_{m_k(k)}$ amd by construction $F_{n(k)}(q)\rightarrow G(q)$. Take

$F(x) = \inf \{ G(q) : q \in Q , q>x \}$ then $F(x)$ becomes rightcontinuous.

To show that $F$ becomes distribution we use tightness.

 

Theorem 3.2.10 ( Continuous Mapping Theorem ) $X_n \Rightarrow X_{\infty}$ if and only if for every bounded continuous function $g$ we have $Eg(X_n) \rightarrow Eg(X_{\infty}$.

Theorem 3.3.17 ( Continuity Theorem ) Let $\mu_n$ be a probability measures with ch.f $\varphi_n$. (i) If $\mu_n \Rightarrow \mu_{\infty}$, then $\varphi_n (t) \rightarrow \varphi_{\infty} (t)$ for all $t$. (ii) If $\varphi_n (t)$ converges pointwise to a limit $\varphi (t)$ that is continuous at 0 , then the associated sequence of distributions $\mu_n$ is tight and converges weakly to the measure $\mu$ with characteristic function $\varphi$

Proof) (i)는 Continuous Mapping Theorem으로부터 쉽게 증명된다.

(ii)를 proof 하기 위해서 우선 tightness를 보인다.

$\mu_n ( |x| \geq \frac{2}{n} ) \rightarrow 0$임을 보일 것이다.

$u^{-1}\int^u_{-u}1-\varphi_n (t) dt$를 고려하는데 $u \rightarrow 0$일 때 $\varphi_n (0)=1$이므로 $u^{-1}\int^u_{-u}1-\varphi_n (t) dt \rightarrow 0$ 이라는 것을 이용해 증명한다.

이를 위해 $\int^u_{-u}1-e^{itx}dt = 2u - \frac{2sin ux}{x}$ 임을 활용한다.

$$u^{-1}\int^u_{-u}1-\varphi_n (t) dt \geq 2 \int_{|x|\geq \frac{2}{u}} ( 1- \frac{1}{ux}) d\mu_n (x)  \geq \mu_n (|x| \geq \frac{2}{u} )$$

따라서 dominated convergence theorem에 의해 tightness 가 증명된다.

따라서 $\mu_{n(k)}\Rightarrow \mu$인 subsequence를 찾을 수 있고 (i)에 의해 $\varphi$는 characteristic function이 된다. characteristic function의 uniqueness를 통해 $\mu_n \Rightarrow \mu$임을 알 수 있다.

$$\tag*{$\blacksquare$}$$

$(ii)$ 에서 0에서의 continuity가 필요한 이유는 평균이 0이고 분산이 n인 정규분포를 생각하면 된다. $\varphi_n (t) = exp (-nt^2/2)$를 생각해보면 된다. $t\neq 0$일 때 모두 $1/2$이지만 $t=0$에서 1이된다. 하지만 $gaussian \rightarrow 1/2$이기 때문에 weak convergence가 성립하지 않음을 알 수 있다.