Riemann-Stieljes Integral

$Theorem\,1.$ Riemann-Stieljes Integral에서 $\alpha$는 monotonically increasing function 이여야 하는 강력한 조건을 필요로 한다.

$Exercise\, 2.$ 모든 함수는 monotonically increas하는 함수들의 조합으로 표현가능한가? 누군가 알면 답을 해주세요

$Corollary\,3.$ Partition은 finite point들로 이루어져있고, 중복이 허용된다.

$Theorem\,4.$ 함수 $f(x)$가 continuous 하면 Riemann-Stieljes Integrable 하다.

$Theorem\,6.$ 함수 $f(x)$가 compact set에서 continuous 하면 unitformly continuous 하다

Hint : Compact set의 성질을 활용해 $f(x)$가 정의된 set D를 포함하는 finite subcover를 찾을 수 있다.

$Excercies\,7.$ 함수 $f(x)$가 continuous 하면 unitformly continuous 한가?

$y=\cfrac{1}{x}$. 어떤 $\delta$에 대해서도 성립하지 않는 $y$가 존재함을 보이면 된다.

$Theorem\,8.$ $f(x)$가 compact set에서 continuous하면 Riemann-Stilejes Integrable하다

Hint : Uniromly continuous하다는 성질 활용

$Theorem\,9.$ 함수 $f(x)$와 $\alpha$가 monotonically increasing 하며 ,$\alpha$가 continuous하면 $f(x)$가 Riemann-Stieljes Integrable하다.

Hint : Intermediate Value Theorem 과 $f(x)$가 monotonically increasing 한다는 점을 활용한다.

$Exercise\,10.$ Prove $supf(x)=-inf(-f(x))$

Ex)$supf(x)+sup(-f(x))=0$은 항상 성립하는가?

Ex)$supf(x)-sup(g(x))$와 $sup(f(x)-g(x))$의 대소관계는 어떻게 되는가?

$Corollary\,11.$ Exercise 10의 성질을 이용해 $f$가 Riemann-Stieljes Integrable하면 $-f$도 Riemann-Stieljes Integrable함을 보일 수 있다.

$Lemma\,12.$ $f(x)$가 $x=c$에서 continuous 할 때, $|f(x)-f(x)|<\epsilon$을 만족하는 closed interval이 존재하는가?

Hint : delta를 작게 잡으면 된다

$Theroem\,13.$ 기존 Partition 보다 fine 한 Partition 의 lower Riemann-Stieljes Integral이 더 커지고 upper Riemann-Stieljes의 경우 더 작아진다.

$Lemma\,14.$ $\underline\int_a^b f(x) \leq \overline\int_a^b f(x)$

Common Refinement의 성질을 활용해서 증명할 수 있다.

$Lemma\,15.$ Riemann-Stilejes Integrable 하다는 것과, for any $\epsilon>0$, there exists a Partition such that $\underline\int_a^b f(x) - \overline\int_a^b f(x) \leq \epsilon $ 인 것은 필요충분조건이다.

$Lemma\,16.$ $sup(-f(x))=-inff(x)$ 를 $\int_a^b cf(x)=c\int_a^b f(x)$ 증명에 활용?

$Exercise\,17.$합성함수가 Riemann-Stieljes Integrable 하기 위한 조건을 설명하시오

$Exercise\,18.$ Is unit step function Riemann Integrable?

Yes

$Theorem\,19.$ If $f(x)$ is Riemann Integrable,then $f(x)$ is continuous?

반례 : unit step function

$Theorem\,20.$ $f(x)$가 finite points에서 discontinuous하다면, f(x)는 리만적분 가능한가?

Yes

$Theorem\,21.$ $f(x)$가 Riemann Stilejes Integrable 하기 위한 충분조건?

1. $f(x)$가 monotonically increasing하고 $\alpha$가 continuous.

2. $f(x)$가 continuous on $[a\,b]$, 즉 closed set에서 contniuous(compact set에서 continuous)