Intermediate Value Property

1. $f(x)$가 continuous 할 때 성립하는 가정임을 알아야한다. Proof도 continuous라는 가정을 이용한다.

 

2. $f(x)$ is differeniable on $[a.b]$ then $f'(x)$ satisfies intermediate value property.

 

Why? Local Minimum과 Local Maximum의 개념을 활용해 증명한다 

 

3. Discontinuity

 

Simple Discontinuity : $f(x+)$ and $f(x-)$ exists but discontinuous

 

Second kind discontinuity: Other than simple discontinuity

 

$f(x)$가 $[a,b]$에서 differentiable 하다면 $f'(x)$는 second type discontinuity 만 가질 수 있다.

 

For example $f(x)=x^2sin(1/x)$ when $x\ne0$ and $f(x)=0$ when $x=0$, left derivate and right derivative at $x=0$ doesn't exist so it has second type discontinuity.