Integration Theory

Stein의 measure theory, chpater 2를 정리한 내용입니다.

이 챕터에서는 $R^d$에서 Lebesgue Integral을 정의하는 방법을 배웁니다.

아래의 순서로 Lebesgue Integral을 정의하게 됩니다.

1. Simple Function

2. Bounded functions supported on a set of finite meausre

1. Simple Function

disjoint한 set $F_k$에 대해 Simple function에 대한 lebesgue integration을 다음과 같이 정의한다.

$$ \int_{\mathbb{R}^d} \varphi (x) dx = \sum^M_{k=1} c_k m(F_k)$$

Theorem 1. ( Independence of the representation ) : If $\phi =\sum^N_{k=1} a_k1_{E_k}$, then 

$$ \int \phi = \sum\limits^N_{k=1} a_k m(E_k) .$$

Proof)

이는 $\phi$의 르베그 적분을 arbitary linear combination을 이용해서 구할 수 있다는 것이다. 

먼저, $E_k$가 disjoint 하지만 $a_k$가 distinct 하거나 zero인 상황을 고려해본다. 

$\{ a_k \}$의 값들 중, distinct한 value a에 대해 $E'_a = \cup E_k$를 정의한다. 즉 $E'_a$는 $a_k = a$인 집합들의 모임이다.

$E'_a$는 disjoint해지고 $m (E'_a) = \sum m(E_k)$가 된다.

따라서 $\phi = \sum a 1_{E'_a}$ 가 되고

$$ \int \phi = \sum^N_{k=1} a m (E'_a) = \sum^N_{k=1} a_k m(E_k).$$ 

가 된다.

이제 $E_k$ 가 disjoint 하지 않다고 가정한다. $\cup^N_{k=1} E_k$ 를 $E^*_1, E^*_2 \dots, E^*_n$인 disjoint한 set들로 나눌 수 있는데, 

$$ \int \phi = \sum a_j^* m(E^*_j) = \sum\sum_{E^*_j \subset E_k} a_k m(E^*_j) = \sum a_k m(E_k)$$

2. Bounded functions supported on a set of finite measure

여기서 support란

$$ supp (f) = \{ x : f(x) \neq 0 \}$$ 인 set을 말한다.

$f$가 set $E$에서 $M$에 의해 bounded 되어 있으면 $f(x)$로 수렴하는 $M$으로 bound되어있는  simple function $\phi_n(x)$가 존재한다.

$ \phi_n (x) \to f(x) $ $$

Finite measure 가진 support set의 bounded function에 대해 intergal을 정의하기 위한 중요한 lemma를 한 개 소개한다. 

Lemma 1.2 Let $f$ be a bounded function supported on a set $E$ of finite measure. If $\{ \phi_n \}^{\infty}_{n=1}$ is any sequence of simple functions bounded by $M$ supported on $E$, and with $\phi_n(x) \to f(x)$ for a.e $x$, then:

i) The limit $\lim_{n\to\infty}\int\phi_n$ exists.

ii) If $f=0$, a.e, then the limit $\lim \int \phi_n$ equals zero.

이 Lemma의 증명은 Ergov Theorem과 bounded support를 활용하면 쉽게 증명할 수 있다. $\phi_n$이 $f$로 pointwise하게 converge하기 때문에 Ergov's Theorem을 사용할 수 있다.

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따라서 bounded functions that are supported on sets of finite measure 에 대해 integration을 다음과 같이 정의한다.

$$ \int f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \int \varphi_n (x) dx $$

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이제 중요한 Convergence Theorem을 소개하겠다.

Theorem 1.4 ( Bounded convergence theorem)

Suppose that $\{f_n\}$ is a sequence of measurable functions that are all bounded by $M$, are supported on a set $E$ of finite measure, and $f_n(x) \to f(x)$ a.e. $x$ as $n\to\infty$. Then $f$ is measurable, bounded, supported on $E$ for a.e. $x$, and

$$ \int |f_n -f| \to 0 \quad \text{as}\quad n\to \infty$$ 

즉, 

$$\lim \int f_n \to \int f $$

limit과 integral의 위치를 서로 바꿀 수 있다.

또한 한 가지 Observation이 있다.

$f\geq 0$가 bounded, 그리고 finite measure를 가진 support set에서 정의가 되고, $\int f =0$이면, 

$f =0$ a.e. 이다.

$ E_k = \{ x \in E : f(x) \geq 1/k \} $ 라고 하면, $k^{-1} \chi_{E_k} (x) \leq f(x) $이다. 따라서 $m(E_k)= 0$ 이 되야하고, 이는 

$ \{ x : f(x) >0 \} = \cup^{\infty} E_k$ 이므로 $f=0$ a.e. 이다.

3. Non-Negative Functions

Bounded 되어 있지 않은 function에 대해 measurability를 정의할 수 있다.

$$ \int f dx = \sup_g \int g(x) dx$$

여기서 $g$는 bounded and supported on a set of finite measure 여야 된다.

그리고 $ int f < \infty $이면, integrable 하다고 합니다.

몇가지 중요한 Observation들을 소개하겠습니다.

(v) If $f$ is integrable, then $ f(x) < \infty$ for a.e. $x$.

(vi) If $\int f=0 $, then $f(x)=0$ for a.e. $x$.

Proof 

$ \chi_k (x) = \{ x: f(x) \geq k \} $라고 하겠습니다.

$$ \int f \geq \int f \chi_k \geq k m(E_k)$$

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이제 우리가 궁금한 것은  $f_n \geq 0 $이고 $ f_n \to f$ 일 때 $ \int f_n \to \int f$가 성립하는지 입니다.

아쉽게도, 위의 statement는 항상 성립하지 않습니다. 대신에 Fatou's Lemma를 소개하겠습니다.

Fatou's lemma

$$ \int \liminf f_n \leq \liminf \int f_n $$

이는 MCT를 활용해 쉽게 증명할 수 있습니다.

$ g_k = \inf_{n\geq k} f_n $이라고 하면 $ g_k \nearrow f$입니다.

또한 $ g_k \leq f_n$이므로, $ \int g_k \leq \inf_{n\geq k}\int f_n$입니다.

여기서 limit을 취하면, MCT에 의해,  $ \lim \int g_k = \int f$이므로, Fatou's lemma가 증명이 됩니다.

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Monotone Convergence Theorem

Monotone Convergence theorem 과 같은 경우, non-negative measurable function $f$에 대해 정의가 됩니다.

$f_n \nearrow f$ then, 

$$ \lim_{n\to\infty} \int f_n = \int f$$

Fatou's lemma를 이용해 MCT를 증명할 수 있습니다.

$f\geq f_n$이므로, $ \int f \geq \limsup \int f_n \geq \liminf \int f_n \geq \int \liminf f_n = \int f $

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또한 MCT로 Fatou를 증명할 수 있습니다.

$ g_k = \inf_{n \geq k} f_n$라고 하면 $ g_k \nearrow \liminf f$가 됩니다.

따라서 MCT 에 의해 $\lim  \int g_k = \int \liminf f$가 됩니다.

$ g_k \leq f_n $이므로,  $   \int g_k \leq  \inf  \int f_n $ 이 됩니다.

 여기서 limit을 취하면, Fatou's Lemma가 증명됩니다.

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또한 MCT로부터 중요한 Corollary가 나옵니다.

Corollary 1.10 Consider a series $ \sum^{\infty}_{k=1} a_k (x)$ where $ a_k (x) \geq 0 $ is measurable. Then,

$$ \int \sum^{\infty}_{k=1} a_k (x) dx = \sum^{\infty}_{k=1} \int a_k (x) dx$$

여기서 $ f_n = \int \sum^{n}_{k=1} a_k (x) dx = \sum^n_{k=1} \int a_k (x) dx$ 입니다.

Monotone convergence theorem 에 의해 

$$ \lim_{n\to\infty} \int \sum^{n}_{k=1} a_k (x) dx  = \int \sum^{\infty}_{k=1} \int a_k (x) $$

이 때, $ \sum\int a_k < \infty$라면, $ \sum^{\infty}_{k=1} a_k (x)$가 integrable하다는 것이고, $ \sum^{\infty}_{k=1} a_k (x)$가 finite almost everywhere 하다는 것을 알 수 있습니다.

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위의 Corallay를 활용한 두 가지 예시가 있습니다.

먼저 Borel Cantelli Lemma를 증명할 수 있는데, 

$a_k(x) = \chi_{E_k}(x)$라고 한다면, $ \sum^{\infty} a_k (x) < \infty$ a.e. 는 $E_k$ Event가 almost surely finite number로 발생한다는 것입니다.

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다른 한 가지 예시는 $ f(x ) = \frac{1}{|x|^{d+1}}$  ( 0 at $ x=0$ ) 의 integrability를 증명하는 것입니다.

$ A_k = \{ x : 2^k \epsilon < | x| < 2^{k+1} \epsilon \} $

$$ g(x) = \sum^{\infty} a_k (x) \;\text{where}\; a_k (x) = \frac{1}{(2^k\epsilon)^{d+1}}\chi_{A_k} (x)$$

따라서 $ \int f \leq \int g$가 됩니다.

$ A = \{ x : 1 < |x| < 2\}$라고 하면, relative dilation-invariance property에 의해,

$$ \int g= \sum^{\infty} \frac{m(A_k)} {(2^k\epsilon)^{d+1}} = m (A) \sum^{\infty} \frac{ (2^k\epsilon)^d}{(2^k\epsilon)^{d+1} } = \frac{C} {\epsilon} $$

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4. General Case

이제 일반적인 함수 $f$에 대해 Lebesgue Integral을 정의하겠습니다.

$$ f^+ = \max ( f,0) \quad f^- = \max ( -f ,0)$$

라고 하면 

$$ \int f = \int f^+ - \int f^- $$

가 됩니다.

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또한 한 가지 중요한 Proposition을 소개하겠습니다.

Proposition 1.12 Suppose $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$, then for every $\epsilon>0$:

(i) There exists a set of finite measure $B$ such that 

$$\int_{B^c} |f| <\epsilon$$

(ii) There is $\delta >0$ such that

$$ \int_E |f| < \epsilon \quad \text{whenever}\quad m(E)<\delta $$

Proof 

먼저 (i)을 증명하겠습니다.
$f_n = f 1_{B_r : r \leq n}$라고 하면

$$ \int_{B^c} f= \int f - \int_B f = \int f- \int f_n $$

Monotone Convergence Theorem을 이용해 증명을 마칠 수 있습니다.

그 다음으로 (ii)를 증명하겠습니다.

$ E_n = \{ x : f(x) \leq n \}$, 그리고, $f_n = f \chi_{E_n}$이라고 하면

$$\int_E f = \int_E f - f_n + \int_E  f_n \leq \int f- f_n + m(E)N$$

마찬가지로 monotone convergence theorem을 이용해 증명을 할 수 있습니다.

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이제 Dominated Convergence Theorem을 소개하겠습니다.

Theorem 1.13 Suppose $\{ f_n \} $ is a sequence of measurable. functions such that $f_n \to f$ a.e. $x$. If $|f_n| \leq g(x)$, where $g$ is integrable, then 

$$ \int |f_n - f| \to 0$$ 즉,

$$ \int f_n \to \int f$$ 

Proof ). 

$$ \int \liminf | f - f_n | \leq \liminf \int |f-f_n| \leq \limsup \int |f-f_n| \leq \int \limsup | f- f_n| $$

Pointwise Convergence에 의해 $ \lim \int |f-f_n| \to 0$가 됩니다.

또한 

$$ | \lim \int f_n -f | \leq  \lim \int |f_n-f| $$

에 의해 $ \lim \int f_n \to \int f$가 됩니다.

 

이제 DCT 증명에 사용된 Reverse Fatou's Lemma를 증명하겠습니다. (  $ |f_n|\leq |g|$ )

$$ \int \limsup f_n \geq \limsup \int f_n$$

우선 $  g- f_n$에 Fatou's Lemma를 적용하겠습니다.

$$ \int \liminf g -f_n \leq \liminf \int g - f_n$$

우변은

$\int \liminf g - f_n  = \int g  -  \int \limsup f_n$가 되고

$ \liminf \int g- f_n = \int g - \limsup \int f_n $ 이 됩니다.