Good kernels and approximations to the identity

Stein 의 Measure Theory 3.2절을 정리한 내용입니다.

여기서는 아래와 같이 convolution으로 표현되는 Kernel $K_{\delta}$에 대해 다룹니다.

$$(f * K_{\delta} )(x) =\int_{\mathbb{R}^d} f(x-y) K_{\delta} (y) dy$$

Good Kernel의 조건을 아래와 같이 명시하고 있습니다.

(i) $\int_{\mathbb{R}^d} K_{\delta} (x) = 1$

(ii) $\int_{\mathbb{R}^d} | K_{\delta}(x)|dx \leq A$

(iii) For every $\eta>0$,

$$ \int_{|x|\geq \eta}|K_{\delta} (x)| dx \to 0 \quad \text{as} \quad \delta \to 0$$

한발짝 더 나아가 (ii),(iii) 을 아래와 같은 조건으로 바꾸어보겠습니다.

(ii') $|K_{\delta}(x)| \leq A \delta^{-d} \quad\text{for all}\quad \delta >0 $

(iii') $| K_{\delta} (x) | \leq A \delta / |x|^{d+1}\;\text{for all}\;\delta>0$

그러면 우리는 Lebesgue set $f$에 대해 $ (f*K_{\delta})(x) \to f(x) $ as $\delta \to 0$의 결과를 얻을 수 있습니다.

위의 조건들은 모두 Good kernel의 조건들보다 강력합니다.

(ii) 조건의 경우, 

$$\begin{align}\int K_{\delta} (x) dx &= \int_{|x|\leq \delta } K_{\delta} (x) dx+ \int_{|x|\geq \delta} K_{\delta} (x)dx\\ &\leq \int_{|x|\leq \delta} A\delta^{-d} + \int_{|x|\geq \delta} A\delta/ |x|^{d+1} \\ &\leq A' + A'' \end{align}$$

마지막 부등식의 경우, 

$$ \int_{|x| \geq \epsilon} \frac{1}{|x|^{d+1}} dx \leq \frac{C}{\epsilon}$$

으로부터 유도할 수 있습니다.

그리고 (iii)의 경우,

$$ \int_{|x| \geq \eta} | K_{\delta} (x) | dx \leq A \delta \int_{|x| \geq \eta} \frac{dx}{|x|^{d+1}} \leq \frac{A' \delta}{\eta}$$가 되어 성립하는 것을 알 수 있습니다.

Approximation to identity의 예시는 다음과 같습니다.

Example 1. Suppose $\varphi$ is non-negative bounded function in $\mathbb{R}^d$ that is supported on the unit ball $|x|\leq 1$, and such that

$$ \int_{\mathbb{R}^d} \varphi = 1 $$

여기서 $ K_{\delta} (x) = \delta^{-d} \varphi (\delta^{-1} x)$ 라고 하면, $\{ K_{\delta} \}_{\delta >0}$는 approximation to identity가 됩니다.

Theorem 2.1 If  K_{\delta}$ is an approximation to the identity, and $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$, then

$$ ( f* K_{\delta} ) (x) \to f(x) \quad \text{as} \; \delta \to 0$$

Lemma 2.2 Suppose $f$ is integrable and $x$ is a point of the Lebesgue set of $f$. Let 

$$ A(r) = \frac{1}{r^d} \int_{|y| \leq r} | f(x-y) - f(x) | dy$$

Theorem 2.3 Suppose that $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$ and $K_{\delta}$ is an approximation to identity. Then for each $\delta > 0$, the $ f*K_{\delta}$ is integrable, and

$$ || (f* K_{\delta})(x) - f||_{L^1} \to 0$$