The Lebesgue differentiation theorem

Stein의 measure theory chp3 중 일부를 정리한 내용입니다.

앞서 소개했던 maximal function을 통해 Lebesgue Differentiation Theorem을 증명하겠습니다.

Theorem 1.3 If $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$, then

$$ \lim_{m(B)\to 0 , x\in B} \frac{1}{m(B)} \int_B f(y) dy = f(x) \; \text{for} \; a.e. \; x$$

Proof ) 아래의 set이 measure zero를 가진다는 것을 보이면 된다.

$$ E_{\alpha} = \left \{ x : \limsup_{m(B) \to 0 , x\in B} | \frac{1}{m(B)} \int _B f(y)dy - f(x) | > 2\alpha  \right \}  $$

우선 contniuous function $g$ of compact support를 생각한다. 

$$ \frac{1}{m(B)} \int_B ( f(y) - g(y) )dy + \frac{1}{m(B)} \int_B g(y) dy - g(x) + g(x) - f(x)$$

여기에 limsup을 취하면

$$ \limsup_{m(B) \to 0.  x \in B} | \frac{1}{m(B)} \int_B f(y) dy - f(x) | \leq (f-g)^* (x) + | g(x)- f(x)|$$

$ F_{\alpha} = \{x: (f-g)^* > \alpha \} $ 그리고 $ G_{\alpha} = \{ x: |f(x)-g(x)| >\alpha \} $

여기서 $ E_{\alpha} \subset F_{\alpha } \cup G_{\alpha}$임을 알 수 있다.

weak type inequality와 Tchebyshev inequality를 통해

$$m(F_{\alpha}) \leq \frac{A}{\alpha} || f-g||_{L^1}$$

$$ m(G_{\alpha}) \leq \frac{1}{\alpha} ||f-g||$$

임을 알 수 있습니다. 

또 하나의 measurability 관련된 것, locally integrablity를 소개하겠습니다. Every Ball $B$에 대해 $f(x) \chi_B(x)$가 integrable하면, 이를 $L^1_{loc}$ space에 있다고 합니다. 

간단한 예시로 integrable 하지않은 function들 중에,  $ 1/|x|$는 locally integrable하지않고 weak $L^1$ space에 속합니다., $1/|x|^{1/2}$는 locally integrable하지만 weak $L^1$에 속하지 않습니다.