Functions of bounded variation

Stein 책 3.1절을 정리한 내용입니다.

이 절에서는 Fundamental Theorem of Calculus의 두 번째 law, 

$$ F(b) - F(a) = \int^b_a F'(x) dx$$

가 되는 조건을 확인합니다.

 

Definition 1.  Curve $\gamma$를 rectifiable하다고 아래와 같이 정의합니다.

If there exists $M<\infty$ such that for any partition $ a= t_0 < t_1 < \dots <t_n =b $ of $[a,b]$,

$$ \sum^N_{j=1} | z(t_j) - z(t_{j-1}) | \leq M$$

이와 비슷하게 어떤 Function $F$에 대해 bounded variation이라는 것을 정의합니다.

Definition 2. $F$ is said to be of bounded variation if the variations of $F$ over all paritions are bounded, that is, there exists $M<\infty$ such that

$$\sum^N_{j=1} | F(t_j) - F(t_{j-1}) | \leq M$$

$F$가 bounded variation이 되는 예시를 살펴보겠습니다.

Example 1. If $F$ is real-valued, monotonic, and bounded, then $F$ is of bounded variation

Example 2. If $F$ is differentiable at every point, and $F'$ is bounded, then $F$ is of bounded variation. 

이는 Mean Value Theorem으로 쉽게 증명할 수 있습니다.

이제 Total Variation을 정의해보겠습니다.

$$ T_F(a,x) = \sup \sum\limits^N_{j=1} | F(t_j) - F(t_{j-1}) |$$

여기서 sup은 $[a,x]$의 모든 partition들에 정의가 됩니다.

그리고 positive variation과 negative variation을 정의합니다.

$$P_F (a,x) = \sup \sum\limits_+ F(t_j) - F(t_{j-1})$$

여기서 summation은 $F(t_j) \geq F(t_{j-1})$인 partition들에 대해 정의가 됩니다.

마찬가지로, decreasing하는 부분에 대해

$$ N_F(a,x) = \sup \sum\limits_- - [F(t_j) - F(t_{j-1})]$$

Variation과 관련된 Lemma를 하나 소개하겠습니다.

Lemma 3.2  Suppose $F$ is real-valued and of bounded variation on $[a,b]$. Then for all $a\leq x\leq b$, one hae

$$ F(x) - F(a) = P_F(a,x) - N_F(a,x)$$

$$ T_F(a,x)= P_F(a,x) + N_F(a,x)$$

Proof

$| P_F - \sum_+ F(t_j) - F(t_{j-1}) | < \epsilon$ 과  $| N_F -  \sum_- - [ F(t_j) - F(t_{j-1}) ] < \epsilon$

을 활용하면, 

$$ | F(x) - F(a) - [P_F - N_F] | < 2\epsilon$ 이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

그리고 Theorem 한개를 소개하겠습니다.

Theorem 3.3 A real-valued function $F$ on $[a,b]$ is of bounded variation iff $F$ is the difference of two increasing bounded function.

Proof

$F$를 bounded variation이라고 하겠습니다. 그러면, $ F_1 (x) = P_F(a,x) + F(a) $ 그리고 $F_2 (x) = N_F (a,x) $라고 하면 성립합니다.

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그 다음으로 differentiation에 관련된 중요한 theorem이 있습니다. $F$가 bounded variation이면, almost everywhere에서 미분가능하다는 것입니다.

Theorem 3.4. If $F$ is of bounded variation on $[a,b]$, then $F$ is differentiable almost everywhere. i.e.,

$$ \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$

exists a.e.

 

그 다음으로 Vitali Covering을 소개하겠습니다. Set $E$의 Vitali Covering이란 a collection $\mathcal{B}$ of balls $\{B\}$인데, if for every $x\in E$ and any $\eta >0$에 대해 $B\in\mathcal{B}$ such that $x\in B$ and $m(B)<\eta$이면 이를 Vitali Covering이라고 합니다.

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Corallary 3.7 If $F$ is increasing and continuous, then $F'$ exists almost everywhere. Moreover $F'$ is measurable, non-negative, and 

$$ \int^b_a F' (x) dx \leq F(b) -F(a)$$

Proof

Fatou's lemma에 의해

$ \int^b_a F'(x) dx \leq \liminf \int^b_a G_n (x) dx $가 성립합니다.

$ G_n (x) = \frac{F(x+1/n) - F(x)}{1/n}$ 로 정의합니다.

그러면 

$$\int^b_a G_n(x) dx = \frac{1}{1/n} \int^b_a F( x +1/n) dx - \frac{1}{1/n} \int^b_a F(x) dx = \frac{1}{1/n} \int^{b+1/n}_{a+1/n}F(y)dy - \frac{1}{n} \int^b_a F(x) dx $$ 

이 되는데 나머지는 Lebesgue Differentiation Theorem으로 정리할 수 있습니다.

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그리고 fundamental calculus theorem의 2번 째 정리를 소개합니다.

Theorem 3.11 Suppose $F$ is absolutely continuous on $[a,b]$. Then $F'$ exists almost everywhere and is integrable. Morever,

$$ F(x) - F(a) = \int^x_a F'(y) dy \quad  \text{for all} \quad  a\leq x \leq b$$