Abstract measure spaces

stein의 measure theroy를 정리한 내용입니다.

$X$로 구성되는 measure space는 

(i) A $\sigma$-algebra $\mathcal{M}$ of " measurable sets" : closed under complement and countable unions and intersections of subsets of $X$

(ii) A measure $ \mu : \mathcal{M} \to [0,\infty]$로 구성된다. 이 때 measure는 countable additivity를 만족시켜야 한다.

$\sigma$-finite이란 $X$가 union of countably many measurable sets of finite measure로 표현될 수 있음을 의미한다.

Example 1 (Counting Measure)

$X=\{ x_n \} $, 즉 countable set이고 $\mu(x_n) = 1$이면 $\mu$는 counting measure이다.

Exmaple 2 ( Lebesgue Meausre)

$X= \mathbb{R}^d$ 이고 $\mu (E) =\int_E dx $이면 이를 Lebesgue measure라고 한다.

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그러면 "measurable set"은 어떻게 정의될까?

Lebesgue Measure에 대해서는 open set으로 approximate 가능하다면 measurable 하다고 했다.

우선 Exterior Measure에 대한 measurability를 다음 section에서 정의한다. Measurabiliy가 중요한 것은 measurable하면, countable additivity가 성립한다는 것이다.

 

1.1 Exterior measures and Caratheodory's theorem

$X$를 set으로 정의할 때, exterior measure $\mu_*$란, $X$의 모든 subset을 $[0,\infty]$로 mapping하는 함수이다.

(i) $ \mu_*( \emptyset ) = 0 $

(ii) If $E_1 \subset E_2$ then $ \mu_* (E_1) \leq \mu_* (E_2) $

(iii) If $ E_1,E_2, \dots $ is countable family of sets, then

$$ \mu_* ( \cup^{\infty}_{j=1} E_j ) \leq \sum\limits^{\infty}_{j=1} \mu_* (E_j)$$

 

아래와 같은 조건을 만족시킬 때, $E$는 $E \in X$는 Caratheodory measurable 혹은 measurable하다고 한다. 모든 $ A \subset X$에 대해 

$$ \mu_* (A) = \mu_* ( E \cap A) + \mu_*(E^c \cap A)$$

$\mu_*(A) \geq \mu_*(E\cap A) + \mu_*(E^c \cap A)$만 보이면 $E$가 measurable하다는 것을 보일 수 있다. Reverse Inequality는 countable sub-additivity에 의해 언제나 성립한다.

이를 통해 $E$가 measurable zero set이면 measurable하다는 것을 알 수 있다.

 

Theorem 1.1 Given an exterior measure $\mu_*$ on a set $X$, the collection $\mathcal{M}$ of Caratheodory measurable sets forms a $\sigma$-algebra. Morevoer, $\mu_*$ restricted to $\mathcal{M}$ is a measure.

Proof )

$\mathcal{M}$이 complement에대해 closed되어 있다는 것은 exterior measure의 definition으로부터 쉽게 확인할 수 있다. $\mathcal{M}$이 closed under finite union 임을 보이고 그 다음에 countable union에 대해서도 closed 되어 있음을 보이면 된다.

$\mu_* (A) = \mu_* (E_2 \cap A) + \mu_* (E^c_2 \cap A) = \mu_* (E_2 \cap E_1 \cap A) +\mu_* (E_2 \cap E_1^c \cap A)+ \mu_* (E_1 \cap E^c_2 \cap A )+ \mu_* (E_1^c \cap E^c_2 \cap A)$

여기서 $ E_1 \cup E_2 = ( E_1 \cap E_2) \cup ( E_1^c \cap E_2) \cup (E_1 \cap E_2^c ) $

따라서 $ E_1 \cup E_2 \in \mathcal{M}$을 증명할 수 있고, 마찬가지로 countable additivity도 증명할 수 있다.

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exterior measure zero set은 Caratheodory measurable하므로, $(X,\mathcal{M},\mu)$는 complete하다는 것을 알 수 있다.

1.2 Metric Exterior Measures

metrix space $X$에서 open ball을 정의할 수 있다.

$$ B_r = \{ y \in X : d(x,y) < r \} $$

따라서 Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{B}_X$는 $X$의 open set들을 포함하는 가장 작은 $\sigma$-algebra를 정의할 수 있다. $\mathcal{B}_X$의 element들을 Borel set이라고 한다. 모든 Borel set들은 Caratheodory measurable하다.

 

exterior measure $\mu_*$ on $X$는 metric exterior measure 라고 한다:

$ \mu_* ( A \cup B ) = \mu_* (A) + \mu_* (B)$ whenever $d(A,B)>0$.

Theorem 1.2

If $\mu_*$ is a metric exterior measure on a metric space $X$, then the Borel sets in $X$ are measurable. Hence, $\mu_*$ restriced to $\mathcal{B}_X$ is a measure.

Proof

Borel set들이 Caratheodory measurable하다는 것을 보이기 위해서 closed set들이 Caratheodory measurable 하다는 것을 보이면 된다. 즉, 어떤 closed set $F$에 대해서 $ \mu_* (A) \geq \mu_* ( F \cap A) + \mu_( F^c \cap A) $임을 보이면 된다.

즉, Borel set들은 metric exterior measuresarable하므로, metric exterior measure는 borel sigma algebra에 대해 measure가 된다.

1.3 The Extension Theorem

먼저 premeasure를 정의한다.

Premeasure on algebra $\mathcal{A}$란,

(i) $\mu_0 ( \emptyset) = 0 $

(ii) $E_1,\dots$ is countable collection of disjoint sets in $\mathcal{A}$ with $\cup^{\infty}_{i=1} E_i \in \mathcal{A}$, then

$$\mu_0 ( \cup^{\infty} E_k ) = \sum^{\infty} \mu_0 (E_k) $$

 

Lemma 1.4

If $\mu_0$ is a premeasure on an algebra $\mathcal{A}$, define $\mu_*$ on any subset $E$ of $X$ by

$$ \mu_* (E) = \inf \{ \sum^{\infty}_{j=1} \mu_0 (E_j) : E \subset \cup^{\infty} E_j , E_j \in \mathcal{A} \}$$

Then $\mu_*$ is an exterior measure on $X$.

 

Theorem 3.5 Let $F$ be a increasing function on $\mathbb{R}$ that is normalized. Then there ie a unique measure $\mu$ on the the Borel sets $\mathcal{B}$ on $\mathbb{R}$ such that $\mu ( (a,b]) = F(b) - F(a)$ if $a<b$. Conversely, if $\mu$ is measure on $\mathcal{B}$ that is finite on bounded intervals, then $F$ defined by $F(x) = \mu ( (0,x]) ,F(0) =0 , F(x) = -\mu ((-x,0]) $is increasing and normalized.

 

Theorem 4.3 Suppose $\mu$ is $\sigma$-finite positive measure on the measure space $(X,\mathcal{M})$, and $\nu$ a $\sigma$ finite measure on $\mathcal{M}$ such that $\nu_a << \mu , \nu_s \perp \mu$ and $\nu = \nu_a + \nu_s$. In addition, the measure $\nu_a$ takes the form $d\nu_a = f d\mu$ that is,

$$\nu_a (E) = \int_E f (x) d\mu (x)$$