Hilbert space : Orthonormality and Closed subspace

Stein의 Measure Theory를 정리한 내용입니다.

이번 글에서는 Hilbert Space의 Orthogonality, Closed subpsace에 대해 알아보겠습니다.

Proposition 2.1 (Pythagoreon for Hilbert space) If $ f\perp g$, then $||f+g||^2 = ||f||^2 + ||g||^2$

Proposition 2.2 

If $\{e_k\}^{\infty}$ is orthonormal, and $f =\sum a_k e_k \in \mathcal{H}$, where the sum is finite, then $ ||f||^2 = \sum |a_k|^2 $.

Theorem 2.3

Followings are equivalent for orthonormal set $\{ e_k \}^{\infty}$.

(i) Finite linear combinations of them are dense in $\mathcal{H}$.

(ii) If $f\in\mathcal{H}$, and $(f,e_j)=0$ for all $j$, then $f=0$.

(iii) If $f \in \mathcal{H}$ and $S_N = \sum^N_{k=1} a_ke_k$, then $S_N \to f$.

(iv) $ a_k = (f,e_k) $ then $||f||^2 = \sum^{\infty} |a_k|^2$

 

Theorem 2.4 Any Hilbert space has an orthonormal basis.

Separable 하므로 linearly independent한 set을 선택한 다음 Gram schimdt process에 의해 orthonormal한 set을 만들면 된다.

( $e'_{k+1} = f_{k+1} - \sum^k_{j=1} (f_{k+1},e_j) e_j $ )

Unitary mappings

다음과 같은 조건을 만족시킬때, $U$를 unitary mapping이라고 한다.

(i) $U$ is linear

(ii) $U$ is bijection

(iii) $|| Uf|| = ||f||$

Property 1. $ (Uf,Ug) = (f,g) $

Polarization을 통해 보일 수 있다.

$ (F,G) = \frac{1}{4} (||F+G||^2-||F-G||^2 + i (|| F/i +G ||^2 + || F/i-G ||^2)$

Property2 . 모든 infinte dimensional Hilbert spaces는 unitarly invariant 하다. Parseval's identity를 통해 쉽게 보일 수 있다.

 

Closed Subspace

이제 Hilbert space의 clsoedness에 대해 알아보겠다.

Lemma 4.1 $\mathcal{S}$이 $\mathcal{H}$의 closed subspace라고 하고, $f\in \mathcal{H}$라고 하자. 그러면

(i) 다음을 만족하는 유일한 $g_0\in \mathcal{S}$가 존재한다:

$$||f-g_0||=\inf_{g\in \mathcal{S}} ||f-g||.$$

(ii) The element $f-g_0$ is perpendicular to $\mathcal{S}$, that is,

$$(f-g_0,g)=0,\quad \forall g \in \mathcal{S}. $$

Proof

(i)의 증명 : 

$d=\inf_{g\in \mathcal{S}} ||f-g||$라고 하자. 그러면, $||f-g_n||\to d$가 되는 sequence $g_n\in\mathcal{S}$를 생각한다. 이제 $g_n$이 Cauchy sequence임을 보이겠다.

 

 

이제 orthogonal complement를 정의하겠습니다:

$$\mathcal{S}^{\perp}:= \{ f \in \mathcal{H} : (f,g)=0,\; \forall g \in \mathcal{S} \}.$$

 

 

Proposition 4.2 If $\mathcal{S}$ is a closed subspace of a Hilbert space $\mathcal{H}$, then 

$$\mathcal{H}=\mathcal{S} \oplus \mathcal{S}^{\perp}.$$

 

 

Lemma 1. Every finite dimensional subspace of Hilbert space is closed. i.e., whenver $\{ f_n \} \subset \mathcal{S}$ converges to $f \in \mathcal{H}$ , then $ f\in \mathcal{S}$.

Proof ) 

$\{s_k\}$를 $\subset{S}$의 orthonormal basis라고 한다면,

$$ <s_k, f> - < s_k, f_n> = < s_k, f - f_n> \leq ||s_k|| || f- f_n|| = ||f - f_n|| $$

따라서 $  <s_k,f> = \lim_{n\to\infty} <s_k, f_n>$

즉, $ x=  \lim_{n\to\infty}x_n = \sum^{|\mathcal{S}|}_{k=1} \lim_{n\to\infty} <s_k, f_n>s_k= \sum^{|\mathcal{S}|}_{k=1} \lim_{n\to\infty} <s_k, f>s_k $

 

$\mathcal{H} = S \oplus S^{\perp} $로 decompose할 수 있는데 따라서 이제 projection을 정의할 수 있습니다.

즉, $P_S(f) = g$ where $f = g+h , \quad g\in S,h\in S^{\perp}$