Linear transformations

Stein의 Measure Theory를 정리한 내용입니다.

 

linear operator $T: \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2$는

$$ ||T(f) ||_{\mathcal{H}_2} \leq M || f||_{\mathcal{H}_1}$$이면 bounded 되어 있다고 합니다. 즉, norm을 정의할 수 있게되는데 

$$ ||T|| = \inf M$$이 됩니다.

Lemma 5.1 $||T|| = \sup \{ | (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \} $

Proof

$ || T|| \leq M$ 이면 $ \sup \{ | (Tf,g) : ||f || \leq 1, || g|| \leq 1\} \leq M$이 된다는 것과

$ \sup \{ | (Tf,g) : ||f || \leq 1, || g|| \leq 1\} \leq M$이면 $||T|| \leq M$이 되는 것을 증명합니다.

$||T|| \leq M$이라고 합시다.

우선, Cauchy-Schwarz에 의해,

$$ \{ | (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \}\leq M $$임을 알 수 있습니다.

따라서, $ \sup \{ | (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \}\leq ||T||$ 가 됩니다.

그리고, $ \sup \{ | (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \}\leq M$ 이면, $ ||T f|| \leq M||f||$임을 증명합니다. 즉, 

$ ||T|| \leq  \sup \{ (Tf,g) : ||f|| \leq 1, ||g|| \leq 1 \} $ 가 됩니다. 

$ f' = f/||f|| , g' = Tf / ||Tf||$라고 한다면, $ | (Tf',g') | = ||Tf||/||f|| \leq M $가 됨을 알 수 있습니다.

Proposition 5.2 A linear operator $T : \mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_2$ is bounded if and only if it is continuous.

Proof

$T$가 bounded 되어 있으면, $||T(f) - T(f_n ) || \leq M ||f - f_n||$이 됩니다. 따라서, $T$가 continuous하다는 것을 알 수 있습니다. 

이제 continuous하면 bounded되어 있다는 것을 보이겠습니다.

bounded되어 있지 않다고 가정을 하면, 어떤 n에 대해 $ || T (f_n) || \geq n ||f_n|| $ 이 되는 $f_n$이 존재합니다. 그런 $f_n$이 존재하지 않는다면, bounded 되어있습니다. $ g_n = f_n / (n||f_n||)$이라고 한다면, $ || T(g_n) || \geq 1$입니다. 하지만 continuity에 의해 $ T(g_n) \to 0$이므로, 이는 contradiction이 됩니다.

 

Linear functionals and the Riesz representation theorem

linear functional $l$이란 Hilbert space로부터 scalar로의 mapping 입니다.

linear functional 중 한 가지 예시는 inner product on $\mathcal{H}$입니다.

$$ l(f) = (f,g) $$

한 가지 중요한 특징은 inner product는 bounded operator이라는 것입니다.

$$| (f,g) | \leq M ||f|| \; \text{where} \; M = ||g|| $$

여기서 $l(g) = M$이 되어 $ || l || = ||g|| $가 됩니다.

모든 continuous한 linear functional on a Hilbert space는 inner product로 표현될 수 있습니다. (Riesz representation theorem)

Riesz representation을 증명하깅 위해 $l$의 null space, $ \mathcal{S} = \{ f \in \mathcal{H} : l(f) =0 \} $ 는 $l$의 closedness를 우선 증명하겠습니다.

Lemma When $l$ is continuous linear operator, Null space of $l$ is closed.

Proof

$$ 0\leq || l(x) || = || l(x) - l(x_n)|| \leq ||l|| || x-x_n||$$

이 되는데 $$l$$이 continuous하므로 bounded되어 있고, 따라서$ || l(x) || = 0 $ 이 되어, null space of $l$이 closed 되어 있음을 알 수 있습니다.

Theorem 5.3 Let $l$ be a continuous linear functional on a Hilbert space $\mathcal{H}$. Then, there exists a unique $g\in \mathcal{H}$ such that 

$$ l(f) = (f,g) \; \text{for all} \; f \in \mathcal{H}$$

Moreover $ ||l|| = || g||$.

Proof

 $l$의 null space라고 앞선 lemma에 의해 closed 되어 있습니다. $ S^{\perp}$가 nontrivial하다고 할 때, 

$||h||=1$인 $h\in S^{\perp}$에 대해 $ g = \bar{l(h)h} $인 $g$를 선택합니다. $ u = l(f)h - l(h) f$라고 한다면, $ u \in S$ 입니다. 따라서, 

$ 0 = (u,h) = (l(f)h - l(h) f, h) = l(f) - (f,\bar{l(h)}h)$가 됩니다.

uniqueness는 다른 $g'$이 있다고 합시다. 그러면, 

$(f,g) = (f,g')$이 되는데, Cauchy Schwartz에 의해 $g=g'$인것이 증명됩니다.

 

Adjoints

이제 Riesz representation theorem의 application인 adjoint of a linear transformation에 대해 알아보겠습니다.

Riesz theorem을 통해 adjoint의 존재성을 증명할 수 있습니다.

Proposition Let $ T : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ be a bounded linear transformation. There exists a unique bounded linear transformation $T^*$ on $\mathcal{H}$ so that:

 (i) $ (Tf,g) = (f,T^*g)$

(ii) $ ||T|| = ||T^*|| $

(iii) $ (T^*)^* = T $

그리고 이를 $T$의 adjoint라고 한다.

Proof

(i)을 만족시키면서, existence를 증명하기 위해, 우선 $ g \in \mathcal{H}$ 에 대해 linear operator 

$$ l (f) = (Tf,g) $$를 정의합니다. $l$은 bounded되어 있다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 Reizs theorem에 의해, $ l (f) = (f,h)$가 됩니다.

$T^*g = h$라고 한다면, (i)을 만족시킨다는 것을 알 수 있습니다.