Measure and measurable functions

먼저 Measure에 대한 몇가지 성질을 알아보겠다.

Proposition 3.5 in Bass ) (1) $\mu (A) \leq \sum^{\infty}_{i=1} \mu(A_i)$ 

Proof. $B_i=A_i- \cup^{i-1}_{j=1}A_j$라고 하면 $ \cup_i A_i = \cup B_i$이다.

 

Example 4.14 in Bass)  $(q_i-\epsilon/2^i,q_i+\epsilon/2^i)$를 생각하면 $\cup_i I_i$의 length는 최대 $2\epsilon$이다. 따라서 $[0,1]-\cup_i I_i$는 유리슈를 포함하지 않는다.

 

Example 1) $f+g$ is measurable function 이다.

$$\{ f+g>a \} = \cup_q \{ f> -q\} \cap \{ g< a+q \}$$

Example 2) $fg$ is measurable function이다.. 

$f^2$가 우선 measurable function이라는 것을 보이면 된다.

Example 3) $f_i$가 measurable하다면, $\sup_i f_i$ measurable function이다.

$$ \{ \sup_i f_i > a \} = \cup_i \{ f_i > a\} /$$

Example 4)  $f$가 increasing이라면, $f$는 Borel measurable function이다.

$x_0 =  \sup \{ y \mid f(y) \leq a \} $라면, $\{ x: f(x)>a\} = (x_0,\infty) $이거나  $[x_0,\infty)$이다.

Propositon 5.11 in [1] ) $f^{-1}(A) \in \mathcal{A}$.

Proof) $\mathcal{C}= \{ A \subset \mathbb{R} \mid f^{-1}(A) \in \mathcal{A} \}$가 $\sigma$-algebra라는 것을 보이면 된다. $\mathcal{C}$는 모든 ray들을 포함하므로 $\mathcal{B} \subset \mathcal{C}$이다.

Example 5.11 in [1] ) Lebesgue measurable but not Borel measurable function:

Theorem 5.15 in [1]) Suupose $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ is Lebesgue measurable, $m$ is Lebesgue measure. There exists clsoed set $F \subset [0,1]$ such that $m([0,1]-F)<\epsilon$ and restriction of $f$ to $F$ is a continuous function on $F$.

Proof) 

우선 characteristic function $\chi_A$를 approximate하는 continuous function을 찾는다 ($F$에서 일치). 그러면 simple function을 approximate하는 continuous function을 찾을 수 있는데 $\cap_{i=1}^n F_i$로 정의가 된다. $f$가 non-negative bounded되어 있으면, $f$로 increasing 하는 simple function $f_n$들을 찾을 수 있고 각 $f_n$에 대해 $m([0,1]-F_n<\epsilon/2^{n+1}$인 $F_n$을 찾을 수 있다. $f_n$이 $F$에서 uniformly converge 하므로 continuous function도 uniformly converge한다.  $m(B_K)>1-\epsilon/3$이다 $m(B_K-D)<\epsilon/3$인 $D\subset B_K$를 찾을 수 있다.

 

Exercise 5.9 in Bass ) $g$와 $f$가 Lebesgue measurable하면 $g\circ f$ is Lebesgue. measurable? 아니다. Lebesgue Cantor function을 생각해보면, $h(x) = x+f(x)$, $m(h(C))>0$이다. 따라서 non-measurable set $N \subset h(C)$가 존재하고, $A=h^{-1}(N)$라고 하면 $\chi_A \circ h^{-1}$는 Broel measurable하지 않다.