Signed Measure

Signed Measure는 무엇일까? 우리가 이전에 배웠던 measure와 거의 비슷하다! 하지만 여러가지 헷갈리는 것들이 있어서 조심해야 한다.

 

Definition 12.1 in Bass) Let $\mathcal{A}$ be a $\sigma$-algebra. A signed measure is a function $\mu : \mathcal{A}\to (-\infty,\infty]$ such that $\mu(\emptyset)=0$ and if $A_1,A_2,\cdots $ are pairwise disjoint and all the $A_i$ are in $\mathcal{A}$, then $\mu(\cup^{\infty}_{i=1} A_i) = \sum^{\infty}_{i=1} \mu(A_i)$.

 

Signed measure에서 중요한 개념으로 Positive set과 Negative set이 있다.

 

Definition 12.2 in Bass) Let $\mu$ be a signed measure. $A\in\mathcal{A}$ is a positive set for $\mu$ if $\mu(B) \geq 0$ whenever $B\subset A$ and $B\in\mathcal{A}$.

 

Proposition 12.4 in Bass) Let $\mu$ be asigned measure which takes values in $(-\infty,\infty]$. Let $E$ be measurable with $\mu(E)<0$. Then there exists, a measurable subset $F$ of $E$ that is a negative set with $\mu(F)<0$.

Proof) 

$E$가 negative set이 아니라고 가정하자. 그러면 $\mu (E_1) \geq 1/n $이 되도록하는 $E_1\subset E$와 $n$이 존재한다. 이제 induction을 사용하겠다. Positive하면서 pairwise disjoint은 $E_1,E_2,\dots,E_{k-1}$을 생각한다. $F_k= E- \cup_{i=1}^{k-1}E_i$가 negative set이라면 

$$\mu(F_k)=\mu(E)-\sum^{k-1}_{i=1}\mu(E_i)\leq \mu(E)<0$$

이므로 끝났다. $F_k$가 negative set이 아니라면, $E_k\subset F_k$이고 $\mu(E_k)\geq 1/n_k$인 $n_k$가 존재한다. 이러한 construction이 계속되면, 

$$\mu(E)=\mu(F)+\sum^{\infty}_{i=1}\mu(E_k)$$

 

 

Theroem 12.5 in Bass)

(1) Let $\mu$ be a signed measure taking values in $(-\infty,\infty]$. There exist disjoint measurable sets $E$ and $F$ in $\mathcal{A}$ whose union is $X$ and such taht $E$ and $F$ is negative set and positive set, respectively.

(2) If $E^{\prime}$ and $F^{\prime}$ are another such pair, then $E\Delta E^{\prime}=F\Delta F^{\prime}$ is a null set with respect to $\mu$.

(3) If $\mu$ is not a positive measure, then $\mu(E)<0$. If $-\mu$ is not a positive measure, then $\mu(F)>0$.

Proof) 

(1)의 증명 : $L=\inf \{ \mu(A) : A \; \text{is a negative set} \}$으로 정의한다. $\mu(A_n)\to L$이 되도록 하는 negative set들의 sequence $A_n$을 생각한다. $E=\cup^{\infty}_{n=1} A_n$, 그리고 $B_1=A_1$, 그리고 $B_n = A_n - \cup_{i=1}^{n-1}B_i$로 설정한다. 그러면 $\cup^n_{i=1} A_i = \cup^n_{i=1}B_i=E$가 됨을 알 수 있다. $C \subset E$이면, 다음이 성립한다:

$$\mu (C) = \lim \mu (C \cap \cup^n_{i=1} B_i ).  \lim \sum \mu (C \cap B_i) \leq 0$$

왜냐하면 $ C \cap B_i \subset A_i$이고 $A_i$는 negative set이기 때문이다. 따라서 $E$도 negative set이 된다. 따라서 

$$\mu(E) = \mu (E-A_n) + \mu (A_n) \leq \mu (A_n) $$

이고 $n\to\infty$에 따라 $\mu(E)\leq L$이 된다.

이제 $F=E^c$라고 할 때, $F$가 positive set이 아니라고 하자. 그러면 $F$에 $\mu (C)<0$인 subset $C$가 존재하는데, 그러면

$$\mu(E\cup C) = \mu (E) +\mu(C)<\mu (E)=L$$이 되어서 모순이 생긴다.

(2)의 증명: $A\subset E-E^{\prime}\subset E$이면 $\mu(A)\leq 0$이다. 그러면 $E-E^{\prime}=E\cap E^{\prime c}=F^c\cap F^{\prime}=F^{\prime}-F$이므로, $\mu(A)\geq 0$이다. 즉 $\mu(A)=0$이다.

(3)의 증명: $\mu$가 positive measure가 아니지만 $\mu(E)=0$이라고 하자. $A\in\mathcal{A}$이면, 

$$\mu(A)=\mu(A\cap E) + \mu (A\cap F) \geq \mu (E) + \mu(A\cap F) \geq 0$$ 

마찬가지로 $-\mu$가 positive measurer가 아니지만 $\mu(F)=0$이라고 하자. 그러면 $A\in\mathcal{A}$에 대해

$$\mu(A)=\mu(A \cap F) + \mu (A \cap E) = \mu ( \cap E) \leq 0$$

가 성립하므로 $-\mu(A)$는 positive measure가 된다.

 

Signed meausre에서 중요한 컨셉 중 하나는 바로 mutually singularity인데 간단한 예시를 알아보겠다.

Example 12.7 in Bass) $F$가 Cantor-Lebesgue function일 때, $x\geq 1$에서 $F(x)=1$, $x \leq 0$에서 $F(x)=0$이라고 하자. Cantor set을 $C$라고 하자. 그러면 $\nu$가 $f$에 의해 induce되는 Lebesgue-Stieljes measure라면, $J=(a,b] \subset C^c$에서 $\nu (J)=f(b)-f(a)=0$이다. 따라서 충분히 큰 $n^{\prime}$에 대해 $\nu((a,b)=\nu(\cup_{n=n'}^{\infty}(a,b-1/n])=0$이다. 

 

이제 여러 증명에서 유용하게 쓰이는 Jordan decomposition Theorem에 대해 알아보겠다.

 

Theorem 12.8 ( Jordan decomposition Theorem )

If $\mu$ is a signed measure on a measurable space $(X,\mathcal{A})$, there exist positive measures $\mu^+$ and $\mu^-$ such that $\mu^+$ and $\mu^-$ are mutually singular and decomposition is unique.

Proof)

$\mu=\nu^+-\nu^-$가 다른 decomposition이라고 하자. 그리고 $E^{\prime}$과 $F^{\prime}$에 대해 mutually singular 하자.

즉, $\nu^-(F^{\prime})=0$, $\nu^+(E^{\prime})=0$이고 $X=E^{\prime}\cup F^{\prime}$이다.

 

그러면 $A\subset F^{\prime}$에 대해 , $\mu^-(A) \leq \mu^-(F^{\prime})=0$이고 다음이 성립한다:

$$\mu(A)=\mu^+(A)-\nu^-(A)=\nu^+(A)\geq 0$$

즉, $F^{\prime}$은 positive set이다. 마찬가지로, $A\subset E^{\prime}$에 대해, $\nu^+(A)\leq \nu^+(E^{\prime})=0$이므로 $$\nu(A)=\nu^+(A)-\nu^-(A)=-\nu^-(A)\leq 0$$이므로 $E^{\prime}$은 negative set이다. 따라서 $E\Delta E^{\prime}$이 null set이라는 조건을 활용하면 다음이 성립한다:

 

$$\nu^+(A)=\nu^+(A\cap F^{\prime})+\nu^+(A\cap F^{\prime c}) = \nu^+(A\cap F^{\prime} )-\nu^-(A\cap F^{\prime}) = \mu(A\cap F^{\prime})=\mu( A \cap F).$$