Lebesgue integral

Lebesgue measure에 대해서 배웠으므로 이제 Lebesgue 적분에 대해서 알아보자!

Definition If $s=\sum^n_{i=1} a_i \chi_{E_i}$ is a non-negative measurable simple function. Then, Lebesgue integral of $s$ is defined as 

$$\int sd \mu = \sum^n_{i=1} a_i \mu (E_i). $$

If $f\geq 0$ is a measurable function, then 

$$\int f d\mu = \sup \{ \int s d\mu : 0 \leq s \leq f, \; s \;\text{is simple.} \}$$

Lebesgue integrable하다는 것은 다음과 같다:

Definition $\int |f| d\mu < \infty$.

 

Lebesgue 적분의 몇가지 성질에 대해 알아보겠다. 너무 헷갈린다!!

Proposition 8.1 in Bass) $f$ is measurable and non-negative and $\int fd\mu =0$. Then $f=0$ almsot everywhere. 

증명은 $f$ 가 0과 같지 않은 meausre가 있다는 것을 활용해서 보이면 된다.

Proposition 8.2 in Bass) Suppose $f$ is integrable and for every measurable $A$ we have $ \int_A f d\mu =0$. Then $f=0$ almost everywhere.

증명은 $A=\{ x \mid f(x)>\epsilon\}$의 measure가 0이라는 것을 보이면 된다. 그러면 $\{x: f(x)>0\}$의 measure가 0이라는 것을 보일 수 있다.

또한 이제 $m$이 Lebesgue measure일 때, $\int^x_a f(y) dy =0$이라면 $f=0$ almost everywhere라는 것을 보일 수 있다.

 

Theorem 8.4 in Bass) $f$가 integrable하고 Lebesgue measurable하면, compact support를 가지는 continuous function $g$로 approximate할 수 있다.