Measure Theory [Exterior Measure]

Stein의 Measure Theory를 개인 공부하고자 정리한 내용입니다.

 

How to define Measure?

$\mathbb{R}$에서 모든 Open Set은 Disjoint Open Interval들의 Countable Union으로 표현할 수 있다.

반면에 $\mathbb{R}^n,n\geq 2$에서는 안타깝게도 모든 Open Set이 Disjoint Open Interval들의 Countable Union으로 표현할 수는 없다. 간단한 예시로 $\mathbb{R}^2$의 Open Circle을 생각해 볼 수 있다.

$\mathbb{R}^n,n\geq 2$에서는 모든 Open set의 경우 Almost Disjoint Closed Cube들의 Countable Union으로 표현할 수는 없다. 여기서 cube란 rectangle을 의미하고, almost disjoint cube란 rectangle의 interior point들이 disjoint하다는 것을 의미한다.

The Cantor Set

Cantor Set은 많은 특이한 성질들을 가진다. Cantor Set은 다음과 같이 정의된다.

$C_1 = [0.1/3]\cup[2/3,1]$

$C_2 = [0.1/9]\cup[2/9.1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[2/3,1]$

$C_k = \cap^{\infty}_{k=0}C_k$

Cantor Set은 uncountalbe하지만 그 length는 0이라고 볼 수 있다. 왜냐면 interval이 $2^k$개 만큼 있는데 각 interval의 길이는 $1/3^k$이기 때문이다.

 

The Exterior Measure

$m_* (E)=\inf\sum\limits^{\infty}_{j=1}|Q_j|$ where $E\subset\cup^{\infty}_{j=1}Q_j$ by closed cubes로 정의된다.

간단한 예시로 Rectangle의 Exterior Measure는 Rectangle의 Volume이 된다.

 d차원을 예시로 생각해보고 Rectangle의 edge의 길이를 1이라고 생각해보자. 그러면 1개의 face를 1/k길이를 가지는 cube들로 채운다고 했을 때 1 face에 필요한 cube수는 $(k+2)^{d-1}$ 이다(edge를 포함해야되니까 +2 ). 그리고 총 2d개의 face가 있으므로, 필요한 cube의 갯수는 최대 $2d(k+2)^{d-1}$이다.

따라서 Rectangle의 Volume을 $|R|$이라고 하고 Rectangle에 완전히 포함된 cube들($Q$)과 바깥과 intersection($Q'$)하고 있는 cube들로 나누었을 때를 생각해보면 $\sum\limits_{Q\in\mathcal{Q}} Q<|R|$ 그리고 $\sum\limits_{Q\in\mathcal{Q\cup Q'}} Q <|R| + \mathcal{O}(1/k)$임을 알 수 있다. 따라서 $m_*(R)\leq R$임을 보일 수 있고 반대 부등호 방향은 쉽게 보일 수 있다.

이제 Exterior Measure의 5가지 성질들에 대해서 알아보자.

1. Monotonicity

$E_1\subset E_2$이면 $m_*(E_1) \leq m_*(E_2)$이다. 왜냐면 $E_2$의 covering은 $E_1$의 covering이기 때문이다.

2. Countable sub-additivity

$E=\cup^{\infty}_{j=1}E_j$ 이면 $m_*(E)\leq \sum\limits^{\infty}_{j=1}m_*(E_j)$

Proof ) 각 $E_j$에 대해 $E_j \subset \cup^{\infty}_{j=1}Q_{k,j}$인 $\sum\limits^{\infty}_{j=1}Q_{k,j}\leq m_*(E_j)+\frac{\epsilon}{2^j}$를 생각할 수 있다. 이를 $j$에 대해 summation하면 inequality가 성립함을 알 수 있다.

3. $m_*(E) = \inf m_* (\mathcal{O})$ where the infimum is over all open sets containing $E$

Proof) 우선 $m_*(E) \leq \inf m_* (\mathcal{O})$ 1번의 monotonicity에 의해 명확하다.

반대 방향 부등호는, 우선 $E\subset \cup^{\infty}_{j=1}Q_j$인 closed cube인 $\sum\limits^{\infty}_{j=1}|Q_j|\leq m_*(E) + \frac{\epsilon}{2}$ 를 생각한다. 그리고 $Q_j$를 포함하는 Open cube인 $Q^0_j$인 $|Q^0_j|\leq |Q_j|+\frac{\epsilon}{2^{j+1}}$을 생각하면, countable sub-additivity에 의해,

$\inf m_*(\mathcal{O})\leq\sum\limits^{\infty}_{j=1}m_*(Q^0_j)=\sum\limits^{\infty}|Q^0_j|\leq m_*(E)+\epsilon$이 성립함을 알 수 있다.

4. If $E = E_1 \cup E_2$ and $d(E_1,E_2)>0$ then $m_*(E) = m_*(E_1)+m_*(E_2)$

$m_*(E)\leq m_*(E_1)+m_*(E_2)$는 countable additivity에 의해 성립한다.

반대 방향의 부등호의 경우, 

$d(E_1,E_2) > \delta >0$이라고 하고 length가 $\delta$보다 작은 cube들로 $E$를 덮는다고 생각하면 cube들은 $E_1$을 덮는 cube들과 $E_2$를 덮는 cube들로 disjoint하게 나뉜다. 이로부터

$m_*(E_1)+m_*(E_2) \leq m_*(E) +\epsilon $임을 알 수있다.

5. If a set $E$ is the countable union of almost disjoint cubes $E=\cup^{\infty}_{j=1}Q_j$, then $m_*(E)=\sum\limits^{\infty}_{j=1}|Q_j|$

$\tilde{Q}_j$를 $Q_j$에 포함된 $|Q_j|\leq |\tilde{Q}_j|+\epsilon/2^j$로 정의한다. 4번에 의해 

$m_*(\cup^N_{j=1}\tilde{Q}_j) = \sum\limits^N_{j-1}|\tilde{Q}_j|\geq \sum\limits^N_{j=1}(|Q_j|-\epsilon/2^j)$

또한 $\cup^N_{j=1}\tilde{Q}_j \subset E$이므로  $m_*(E)\geq \sum\limits^N_{j=1}|Q_j|-\epsilon$임을 알 수 있다. $N\rightarrow\infty$임에 따라 countable sub-additivity에 의해 equality가 성립함을 알 수 있다.