$G_{\delta},F_{\sigma}$

Stein 의 Measure Theory를 일부 정리한 내용입니다.

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Countable intersection of open set을 $G_{\delta}$라고 한다. 그리고 그 complement인, countable union of closed sets을 $ F_{\sigma} $로 정의한다.

$G_{\delta}$를 이용해 measureble을 보이는 정리를 하나 소개한다.

Corollary 3.5 

$E\in \mathbb{R}^d$ is measurable $\iff$ $E$ differs from a $G_{\delta}$ by a set of measure zero.

Proof )

Only if part)

Open sets은 measurable하고, countable intersection of measurable sets은 measurable하므로, $G_{\delta}$는 measurabl하다. 따라서, $E$는 measurable 해진다.

If part)

$E$가 measurable 하다면 $m(O_n -E) \leq 1/n$인 open set $O_n$을 선택할 수 있다. $S= \cap^{\infty}_{n=1}O_n$ 은 $E$를 포함하는 $G_{\delta}$가 된다. $S-E \subset O_n -E$ 이므로 모든 $n$에 대해 $m(S-E) \leq 1/n$이 된다. 즉 $S-E$는 measure가 0인 set이 된다.

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$F_{\sigma}$에 대해서도 이와 유사한 정리를 보일 수 있다.