Non-measurable set

이번 글에서는 $\mathbb{R}$에서 non-measurable set을 만드는 방법에 대해 알아보겠습니다. 

non-measurable set을 만드는데 $[0,1]$에서의 equivalence relation ($x\sim y$)과 axiom of choice을 활용합니다.

일단 $x,y\in[0,1]$에 대해서 $x-y\in \mathbb{Q}$이면 $x\sim y$라고 표현합니다. 서로 다른 두 개의 equivalence class는 disjoint하다는 것을 알 수 있습니다.

모든 equivalence class에 대한 union은 $[0,1]$이 됩니다.

$$ [0,1] = \cup_{\alpha} \mathcal{E}_{\alpha} $$

이제 axiom of choice에 의해 $\mathcal{E}_{\alpha}$에서 한 개씩 원소 $x_{\alpha}$를 뽑아 set을 만듭니다.

$$\mathcal{N} = \{ x_{\alpha} \}$$

이제 $[-1,1]$사이의 모든 유리수들을 나열한 집합 $\{ r_k \}$를 생각합니다.

그리고 $\mathcal{N}_k = \mathcal{N} +r_k$라는 set을 정의합니다.

$\mathcal{N}_k$는 disjoint 해지고 

$$ [0,1] \subset \cup^{\infty}_{k=1} \mathcal{N}_k \subset [-1,2] $$가 성립하는 것을 알 수 있습니다.

우선, $\mathcal{N}_k$가 서로 disjoint하다는 것을 보이기 위해 contradiction을 활용합니다.

$\mathcal{N}_k$와 $\mathcal{N}_k'$이 disjoint하지 않다고 가정하면, 

$x_{\alpha}+ r_k = x_{\beta} + r_{k}'$인 $r_k \neq r_k'$과 $x_{\alpha} \neq x_{\beta}$가 존재합니다.

$x_{\alpha}-x_{\beta} = r_k' - r_k$가 되는데 우변이 유리수가 되므로, $x_{\alpha}\sim x_{\beta}$가 됩니다. 이는 모순이 됩니다.

$[0,1] \subset\sum\limits^{\infty}_{k=1}m (\mathcal{N}_k)$이 되는 것은 $x \in [0,1]$에 대해여, $x$와 equivalence relation인 $x_{\alpha}$가 존재하는데, $x- x_{\alpha} = r_k$가 되어, $x\in \mathcal{N}_k$가 됩니다.

따라서 , 

$$ 1 \leq \sum\limits^{\infty}_{k=1}m (\mathcal{N}_k) \leq 3$$ 이 되는 것을 알 수 있습니다.

disjoint set하므로, $\sum\limits^{\infty}_{k=1}m (\mathcal{N}_k)=\sum\limits^{\infty}_{k=1}m(\mathcal{N})$가 됩니다.

$m(\mathcal{N}) =0$과 $m(\mathcal{N})>0$ 모두 모순이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

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유용하게 사용할 수 있는 성질이 있습니다.

1. Measurable subset of Non-measurable set has measure zero.