least upper bound property

Baby Rudin 책의 내용을 정리한 글입니다.

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Definition 1.(Supremum) Suppose $S$ is an ordered set, $E \subset S$ and $E$ is bounded above. Suppose there exists an $\alpha \in S$ with the following properties : 

1) $\alpha$ is an upper bound of $E$.

2) If $\gamma < \alpha$, then $\gamma$ is not an upper bound of $E$.

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Definition 2(Least Upper Bound Property). An ordered set $S$ is said to have the least-upper-bound property if the following is true:

IF $E\subset S$, $E$ is not empty, and $E$ is bounded above, then $\sup E$ exists in $S$

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또한 least upper bound property를 greatest lower bound property 와 연관시킬 수 있습니다.

Theorem 1.1 Suppose $S$ is an ordered set with the least-upper-bound property $B\subset S$, $B$ is not empty, and $B$ is bounded below. Let $L$ be the set of all lower bounds of $B$. Then

$$\alpha = \sup L$$

exists in $S$ and $\alpha = \inf B$

Proof )

least upper bound property에 의해 $L$의 supremum은 $S$에 존재한다.

$\alpha$가 $B$의 infimum을 보이기 위해 우선 Definition 1의 1번 조건을 확인한다.

$x<\alpha$이면 $x$는 $x\notin B$이다.  따라서 $\forall{x}\in B$에 대해 $\alpha \leq x$이다. 즉 , $\alpha$가 $B$의 lower bound가 된다.

그리고 Definition 1의 2번 조건을 확인한다.

$\alpha < x$에 대해 supreumum의 정의에 의해 $x\notin L$이므로 $x$는 $B$의 lower bound가 되지 못한다.

따라서  $\alpha$는 $B$의 infinumum 이다.