Independence

Durrett 책의 내용을 일부 정리한 글입니다.

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Definition 1.1 (Independence of Events) Two events $A$ and $B$ are independent if $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Definition 1.2 (Independence of Random Variable)  $X$ and $Y$ are independent if for all $C,D\in\mathcal{R}$,

$$P(X\in C, Y\in D)= P(X\in C) P(X\in D)$$

여기서 $X\in C$,$Y\in D$는 event에 해당한다.

즉, Random Variable의 independence를 보이기 위해서는 모든 Borel Set에 대해 Independence를 보여야 한다. 이 방법보다 쉽게 Random Variable의 independence를 확인하는 방법이 뒤에 소개된다.

Theorem 1.3  Events $A$ and $B$ are independent if and only if their indicator random variable $1_A$ and $1_B$ are independent.

Proof)

먼저 $1_A$와 $1_B$가 independent함을 보이자.

Borel set이 1은 포함하고 0은 포함하지 않은 경우, 1은 포함하지 않고 0은 포함한 경우, 1과 0을 모두 포함한 경우, 1과 0을 모두 포함하지 않은 경우를 생각해보면 어떤 Borel Set $C \in \mathcal{R}$에 대해 $\{ 1_A \in C \} \in \{\emptyset,A,A^c,\Omega \}$이다. 마찬가지로 $\{ 1_B \in C \} \in \{\emptyset,B,B^c,\Omega \}$ 이다. 따라서 총 16가지 경우에 대해 각 event들이 independent하다는 것을 보이면 , indicator function이 independent 함을 보일 수 있다.

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Definition 1.3  (Independence of N many events) Sets $A_1,\dots,A_n$ are independent if whenever $I\subset \{ 1,\dots,n\}$, we have

$$P(\cap_{i\in I}A_i)= \Pi_{i\in I}P(A_i)$$

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Theorem 1.4 ( Pi-system Independence ) Suppose $\{ \mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_n \}$ are independent and each $\mathcal{A}_i$ is a $\pi$-system. Then $\sigma (\mathcal{A}_1),\dots,\sigma (\mathcal{A}_n)$ are independent.

이 Theroem을 이용해 sigma algebra의 independence를 증명하기 위해 모든 Borel Set이 아닌 Pi-system에 해당하는 collection에 대해서만 independence를 보일 수 있다면 Borel-Sigma Algebra의 Independence를 쉽게 증명할 수 있다.

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Theorem 1.5 Suppose $\mathcal{F}_{i,j}$ are independent and let $\mathcal{G}=\sigma (\cup_j \mathcal{F}_{i,j})$ . Then $\mathcal{G}_1,\dots,\mathcal{G}_n$ are independent.