Hardy-Littlewood maximal function

Stein 의 Measure Theory, CH3의 Differentiation of the integral에 해당하는 내용입니다.

우선 maximal function을 생각해봅시다.

$$ f^* (x) = \sup_{x\in B} \frac{1}{m(B)} \int_B |f(y) | dy$$

그러면 $f^*$는 다음과 같은 성질들을 가지게 됩니다.

Theorem 1.  Suppose $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$, then ,

(i) $f^*$ is measurable

(ii) $f^*(x)<\infty$ for a.e. $x$

(iii) $f^*$ satisfies

$$ m( \{ x\in\mathbb{R}^d : f^*(x)>\alpha  \}) \leq \frac{A}{\alpha} ||f||_{L^1 (\mathbb{R}^d)} $$

for all $\alpha>0$ where $A=3^d$.

Proof

우선 $f^*$가 measurable 하다는 것을 보이겠다.

$E_{\alpha} = \{ x\in \mathbb{R}^d | f^*(x)>\alpha \} $라고 할 때, $f^*$의 definition에 의해, $\bar{x}\in E_{\alpha}$에 대해 

$\frac{1}{m(B)} \int_B |f(y)| dy >\alpha$인 $\bar{x}$를 포함하는 $B$가 존재한다. 이 때 $B$가 open ball이므로, $\bar{x}$를 포함하면서 $B$에 포함되는 open ball을 잡을 수 있고, 여기에 포함되는 모든 원소들 $y$에 $y\in B$ 이므로, $f^*(y)>\alpha$가 성립하한다. 따라서, $y\in E_{\alpha}$, 즉 $E_{\alpha}$는 Open set이 되어, $f^*$가 measurable 해진다는 것을 알 수 있다.

(iii)을 proof 하기 위해 우선 간단한 Vitali Covering Lemma를 소개합니다.

Lemma 1.2 

Suppose $\mathcal{B} = \{ B_1,B_2,\dots,B_N \}$ is a finite collection of open balls in $\mathbb{R}^d$. Then there exists a disjoint sub-collection $B_{i_1},B_{i_2},\dots,B_{i_k}$ of $\mathcal{B}$ that satisfies$$ m \left( \cup^N_{k=1} B_k \right) \leq 3^d \sum\limits^k_{j=1}m(B_{i_j})$$ 위의 Lemma를 이용해 (iii)을 증명하겠습니다.$E_{\alpha}$의 compact subset $K$를 생각해보면, $K \subset_{x\in E_{\alpha}} B_x$ 에 대해 finite subcover $K \subset \cup^N_{l=1}B_l$을 생각할 수 있습니다. 또한 Lemma 1.2에 의해 아래의 부등식이 성립합니다.$$m \left ( \cup^N_{k=1}B_l \right) \leq 3^d \sum\limits^k_{j=1} m(B_{i_j})$$$B_{i_j}$들은 disjoint하므로,

\begin{align} m(K) \leq 3^d \sum\limits^k_{j=1} m(B_j) &\leq \frac{3^d}{\alpha} \sum\limits^k_{j=1} \int_{B_{i_j}}|f(y)| dy\\ &\leq \frac{3^d}{\alpha}\int_{\cup^k_{j=1}B_j} |f(y)| dy \\&\leq \frac{3^d}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^d} |f(y)|dy \end{align}

$E_{\alpha}$의 모든 compact subset들에 대해 성립하므로, (iii)이 성립하는 것을 알 수 있습니다.