Bounded

$Theorem\,1.$ 실수 집합에서 정의된 $f(x)$가 bounded 돼있다고 해서 $max f(x)$가 존재하는 것은 아니다.

예시 : $f(x)=\cfrac{1}{e^{-2x}}$

$Theorem\,2.$ 실수 범위 내에서 unbounded라면 infimum 혹은 supremum이 존재하지 않는다.

Extended Real Number system을 사용하는 이유가 여기에 있다. supremum과 infimum의 존재성을 보장할 수 있기 때문이다. 하지만 extended real number system이라도 maximum과 minimum의 존재성은 보장할 수 없다.

$Def\,3.$함수 $f(x)$가 Bounded라면 radius가 실수 M인 $f(x)$를 포함하는 Neighborhood가 존재한다.

$Example\,4.$ Bounded Sequence라고 수렴하는 것은 아니다.$a_n=1\,if\,\, n\,\, is\,\, even\,\, else\,\, 0$

$Lemma\,5.$ $\{x_n\}$이 $[a,b]$에서 정의된 $Partition$일 때, $x$로 $converge$ 하는 $sequence$ $\{x_{n_k}\}$가 존재하고 , $x_{i-1}{\leqq}x{\leqq}x_i$인 $i$가 존재한다.

$Theorem\,6.$ 함수가 Bounded 되어있을 때, lower Riemann Integral과 upper Riemann Integral은 실수 집합 내에 존재한다. (존재성의 여부 확인 가능)

$Lemma\,7.$ 함수가 Unbounded 되어있다면, Riemann Integrable하지 않다.

$Theorem\,8.$ $Sequence\,\{x_n\}$ 이 bounded 되어있다면, converge 하는 subsequence가 존재한다.

Hint : Infinite 한 집합을 계속 쪼개 나간다.finite한 interval이 계속 생기게 된다.

$Theorem\,8.$ 함수 $f(x)$가 bounded 되어 있다고해서, Riemann Stieljes Integrable 한 것으 아니다.

반례 : $f(x)=1\quad if\;x\in Q\quad else \,0$

$Theorem\,9.$ 함수 $f(x)$가 Riemann Integrable 하면 $f(x)$는 bounded and continuous한가?

No. bounded는 맞지만,finite point에서 discontinuous 할 수 있다.