Continuity and Derivative

1. $Euclidean space$에서 $real-valued function f(x)$가 $continuous$하면 $differentiable$ 한가?

 

No. 반례생각

 

반대로 closed interval에서 differentialbe 하면 continuous 한가? (Euclidean metric space가정)

 

 - Think about end point. 

 

 2. $x=p$에서 Differentiable 하면 $x=p$에서 continuous하고 $p$는 $limit point$이다.

 

 

Q1) Show that if $f'(x)=0\;\; then\;\; f(x)\; is\; constant function$

Q2) If $f(x)$ is differentiable, and strictly increasing, then $f'(x)>0?$

반례 : $y=x^3$