Continuity and Limit

$Corollary\,1.$ $x=p$ 에서 $f(x)$가 $continuous$하다면 $x=p$에서 $limit$이 존재하는가? ($x \in E$)

Hint : Think about isolated point.

Answer : If continuous and $x=p$ is a limit point,then limit exists at $x=a$.

But if $x=p$ is not a limit point then limit cannot be defined.

$Corollary\,2.$역으로 $x=p$ 에서 $limit$이 존재한다면 $x=p$에서 $continuous$한가?

Answer : If limit exists and $\lim_{x \to a} = f(a)$ ,then it is continuous at $x=a$

But if $\lim_{x \to a}\ne f(a)$ or $f(a)$ doesn't exist, then it is not continuous at $x=a$.

$Exerciese\, 3.$$f(x)= x$ ($x$ $\in$ $\mathbb{R-Q}$) else $0$ ($x$ $\in$ $\mathbb{Q}$)

위 함수의 continuity와 limit 에 대해서 설명하시오

Use the definition of continuity to show it is discontinuous at every points except at zero.

Hint : $x=0$

Rigorous Proof : Assume limit exists or continuous at $x=a (x\ne0)$

$Theorem\,4.$ continuous 하다고 해서 Uniformly continuous 한 것은 아니다.

$Ex)\,y=\cfrac{1}{x} \,\,when\, x\in(0,1)$

하지만 closed interval에서 continuous하면 uniformly continuous하다.

$Theorem\,5.$ Monotonically increasing하며 bounded 된 sequence는 converge한다.

$Proof$ Cauchy Sequence가 아님을 보인다. -> bounded가 아니라는 모순을 이끌어냄으로서 증명

$Theorem\,5.$U Uniformly continuous 하면 continuous하다.